אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'

חלק א'

שאלה 1

ב. הפרכה:

נניח כי $T$ באמת חד חד ערכית.

זה אומר כי $Ker(T)=\{0\}$, ולכן $dimKer(T)=0$.

לפי משפט הדרגה $dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n$

היות ו $dimKer(T)=0$.

נקבל כי $dimIm(T)=n$.

מצד שני, $Im(T) \subseteq W$ ולכן $dimIm(T) \leq dim W =m$.

קיבלנו ש $n=dimIm(T)\leq m$

כלומר $n \leq m$ בסתירה לנתון ש $n > m$.

סתירה.

ולכן $T$ לא יכולה להיות חד חד ערכית.

שאלה 2

ראשית נוכיח כי $B$ בת"ל.

נייצג את איברי $B$ בתור וקטורי קוארדינטות ב $\mathbb{R}^4$ לפי הבסיס הסטנדרטי ונקבל

$(1,1,1,1),(3,4,0,5)$.

נשים וקטורים אלו בשורות מטריצה ונדרג אותה כדי לוודא שהם בלתי תלויים.

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 0 & 5 \end{bmatrix} \overset{R_2=R_2-3R_1} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

הגענו לצורה מדורגת בלי שקיבלנו שורת אפסים ולכן רשימת הוקטורים שהתחלנו איתה בת"ל.

(הערה: מי שהראה שכל צירוף $\alpha (1+x+x^2+x^3) + \beta(3+4x+5x^3)=0$ מחייב ש $\alpha=\beta=0$. זאת גם תשובה טובה. וגם מי שהראה שאין $\alpha$ כך ש $\alpha(1+x+x^2+x^3)=3+4x+5x^3$ זו גם תשובה נכונה).