הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "===שאלה 1=== לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות <math>C_1(A),C_2(A),C_3(A)</math> שמקיימות <math>\begi...")
 
(←‏שאלה 1)
שורה 24: שורה 24:
  
 
<math>7^3</math> פתרונות.
 
<math>7^3</math> פתרונות.
 +
 +
 +
===שאלה 2===
 +
 +
<math>A</math> היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.
 +
 +
אם נסמן ב E_1,\ldtos,E_5 את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם
 +
 +
<math>E_5E_4E_3E_2E_1A=I</math>
 +
 +
ולכן <math>A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I</math>
 +
 +
כלומר, אם נבצע את הפעולות ההפוכות בסדר הפוך על <math>I</math>, נגיע ל <math>A</math>.
 +
 +
הפעולות ההפוכות בסדר הפוך הן:
 +
 +
<math>R_1 \leftrightarrow R_5</math>
 +
 +
<math>R_1 = R_1+2R_2</math>
 +
 +
<math>R_1 \leftrightarrow R_3</math>
 +
 +
<math>R_1 = R_1 -R_2</math>
 +
 +
<math>R_1 = \frac{1}{2} R_1</math>
 +
 +
ולכן קל לחשב ש
 +
 +
<math>A=\begin{bmatrix}
 +
 +
0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
 +
 +
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
 +
 +
0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
 +
 +
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
 +
 +
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 +
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 +
 +
היות ו
 +
 +
<math>A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I</math>
 +
 +
נקבל ש
 +
 +
<math>A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I</math>
 +
 +
כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על <math>I</math> כדי להגיע ל <math>A^-1</math>
 +
 +
לכן קל לחשב ש
 +
 +
<math>A^-1=\begin{bmatrix}
 +
 +
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
 +
 +
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
 +
 +
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
 +
 +
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
 +
 +
0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\
 +
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 +
 +
היות ו <math>A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I</math> נקבל ש
 +
 +
<math>(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}A^-1=I</math>
 +
 +
כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את <math>A^-1</math> הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:
 +
 +
<math>R_1 \leftrightarrow R_5</math>
 +
 +
<math>R_1 = R_1+2R_2</math>
 +
 +
<math>R_1 \leftrightarrow R_3</math>
 +
 +
<math>R_1 = R_1 -R_2</math>
 +
 +
<math>R_1 = \frac{1}{2} R_1</math>
 +
 +
(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את <math>A^-1</math> לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)

גרסה מ־06:33, 16 באוגוסט 2013

שאלה 1

לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות C_1(A),C_2(A),C_3(A)

שמקיימות

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_1(A) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_2(A) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_3(A) = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}

כך שקיבלנו 3 משוואות, כל אחת בשני נעלמים.

אם נפתור את המשוואה הראשונה

\begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 2 & 4 & \mid & 4 \end{bmatrix} \overset{R_2=R_2-2R_1}{\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix}

נראה שיש משתנה חופשי אחד (ואין שורות סתירה) ולכן יש 7 פתרונות.

אותה הדבר קורה בשביל שאר המשוואות ולכן בסך הכל יש

7^3 פתרונות.


שאלה 2

A היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא I.

אם נסמן ב E_1,\ldtos,E_5 את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם

E_5E_4E_3E_2E_1A=I

ולכן A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I

כלומר, אם נבצע את הפעולות ההפוכות בסדר הפוך על I, נגיע ל A.

הפעולות ההפוכות בסדר הפוך הן:

R_1 \leftrightarrow R_5

R_1 = R_1+2R_2

R_1 \leftrightarrow R_3

R_1 = R_1 -R_2

R_1 = \frac{1}{2} R_1

ולכן קל לחשב ש

A=\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}


היות ו

A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I

נקבל ש

A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I

כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על I כדי להגיע ל A^-1

לכן קל לחשב ש

A^-1=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ \end{bmatrix}


היות ו A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I נקבל ש

(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}A^-1=I

כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את A^-1 הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:

R_1 \leftrightarrow R_5

R_1 = R_1+2R_2

R_1 \leftrightarrow R_3

R_1 = R_1 -R_2

R_1 = \frac{1}{2} R_1

(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את A^-1 לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אלגברה_לינארית_1_תיכוניסטים_קיץ_תשעג/פתרון_הבוחן&oldid=36742