אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן

שאלה 1

לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות $C_1(A),C_2(A),C_3(A)$

שמקיימות

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_1(A) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_2(A) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_3(A) = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}$

כך שקיבלנו 3 משוואות, כל אחת בשני נעלמים.

אם נפתור את המשוואה הראשונה

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 2 & 4 & \mid & 4 \end{bmatrix} \overset{R_2=R_2-2R_1}{\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix}$

נראה שיש משתנה חופשי אחד (ואין שורות סתירה) ולכן יש $7$ פתרונות.

אותה הדבר קורה בשביל שאר המשוואות ולכן בסך הכל יש

$7^3$ פתרונות.

שאלה 2

$A$ היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא $I$.

אם נסמן ב $E_1, \ldots ,E_5$ את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם

$E_5E_4E_3E_2E_1A=I$

ולכן $A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I$

כלומר, אם נבצע את הפעולות ההפוכות בסדר הפוך על $I$, נגיע ל $A$.

הפעולות ההפוכות בסדר הפוך הן:

$R_1 \leftrightarrow R_5$

$R_1 = R_1+2R_2$

$R_1 \leftrightarrow R_3$

$R_1 = R_1 -R_2$

$R_1 = \frac{1}{2} R_1$

ולכן קל לחשב ש

$A=\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

היות ו

$A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I$

נקבל ש

$A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I$

כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על $I$ כדי להגיע ל $A^-1$

לכן קל לחשב ש

$A^-1=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ \end{bmatrix}$

היות ו $A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I$ נקבל ש

$(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}A^-1=I$

כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את $A^-1$ הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:

$R_1 \leftrightarrow R_5$

$R_1 = R_1+2R_2$

$R_1 \leftrightarrow R_3$

$R_1 = R_1 -R_2$

$R_1 = \frac{1}{2} R_1$

(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את $A^-1$ לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)