הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית)
שורה 6: שורה 6:
 
==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>==  
 
==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>==  
  
−
אזי ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>.
+
ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>.
  
 
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math>
 
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math>
שורה 14: שורה 14:
 
==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>==
 
==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>==
  
−
אזי נפרק את q לגורמים אי פריקים:  
+
נפרק את q לגורמים אי פריקים:  
  
 
<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
 
<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
 +
  
 
כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
 
כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
 +
 +
<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}\Big]+...+\Big[\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}} + \frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}\Big]+...+\Big[\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math>

גרסה מ־09:04, 1 ביולי 2011

אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב \int f(x)dx כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים.

פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.

מצב ראשון deg(p)=deg(q)-1

ניתן למצוא קבוע c כך ש h=cp-q' כך שdeg(h)<deg(q)-1.

אז רושמים \int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q}

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני deg(p)<deg(q)-1

נפרק את q לגורמים אי פריקים:

q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}


כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}\Big]+...+\Big[\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}} + \frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}\Big]+...+\Big[\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אלגוריתם_לביצוע_אינטגרל_על_פונקציה_רציונאלית&oldid=10856