|
|
| שורה 1: |
שורה 1: |
| − | =אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
| + | Your story was ralely informative, thanks! |
| − | תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | '''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
| + | |
| − | | + | |
| − | ==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>==
| + | |
| − | | + | |
| − | ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | וממשיכים לשלב הבא:
| + | |
| − | | + | |
| − | ==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>==
| + | |
| − | | + | |
| − | *נפרק את q לגורמים אי פריקים:
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big] + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | *נחשב כל מחובר בנפרד:
| + | |
| − | | + | |
| − | Real brain power on display. Thanks for that aswner!
| + | |
| − | | + | |
| − | ===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *דבר ראשון, נבצע את המצב הראשון באלגוריתם על מנת לצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *שנית, נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | **<math>G_1=\frac{A}{a}arctan(\frac{x}{a}) +C</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | **<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{1}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ==מצב שלישי <math>deg(p)=deg(q)</math>==
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>deg(h)<deg(q)</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int{1}+\int\frac{h}{q}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>==
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>deg(r)<deg(q)</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *מתקיים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | *נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
| + | |
