הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(GyNLNiwsAMN)
שורה 1: שורה 1:
−
yxxrR0  <a href="http://atbowgljobll.com/">atbowgljobll</a>
+
=אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
 +
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>.
 +
 
 +
'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
 +
 
 +
==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>==
 +
 
 +
ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>.
 +
 
 +
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math>
 +
 
 +
וממשיכים לשלב הבא:
 +
 
 +
==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>==
 +
 
 +
*נפרק את q לגורמים אי פריקים:
 +
 
 +
<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
 +
 
 +
 
 +
*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
 +
 
 +
<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big] + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math>
 +
 
 +
 
 +
*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math>.
 +
 
 +
*נחשב כל מחובר בנפרד:
 +
 
 +
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
 +
נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל:
 +
 
 +
 
 +
<math>I_1=Aln(x-a)+C</math>
 +
 
 +
 
 +
<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
 +
 
 +
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
 +
 
 +
 
 +
*דבר ראשון, נבצע את המצב הראשון באלגוריתם על מנת לצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math>
 +
 
 +
 
 +
*שנית, נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}</math>
 +
 
 +
 
 +
*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
 +
 
 +
 
 +
*נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
 +
 
 +
 
 +
**<math>G_1=\frac{A}{a}arctan(\frac{x}{a}) +C</math>
 +
 
 +
 
 +
**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{1}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
 +
 
 +
==מצב שלישי <math>deg(p)=deg(q)</math>==
 +
 
 +
 
 +
*קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>deg(h)<deg(q)</math>.
 +
 
 +
 
 +
*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int{1}+\int\frac{h}{q}</math>
 +
 
 +
 
 +
*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
 +
 
 +
 
 +
==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>==
 +
 
 +
 
 +
*נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>deg(r)<deg(q)</math>
 +
 
 +
 
 +
*מתקיים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}</math>
 +
 
 +
 
 +
*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.

גרסה מ־10:18, 3 בספטמבר 2011

אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב \int f(x)dx.

עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).

מצב ראשון deg(p)=deg(q)-1

ניתן למצוא קבוע c כך ש h=cp-q' כך שdeg(h)<deg(q)-1.

אז רושמים \int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q}

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני deg(p)<deg(q)-1

  • נפרק את q לגורמים אי פריקים:

q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}


  • כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big] + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...


  • נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}.
  • נחשב כל מחובר בנפרד:

אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}

נבצע הצבה t=x-a על מנת לקבל:


I_1=Aln(x-a)+C


I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C

אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m} (כאשר המכנה אי פריק)

  • דבר ראשון, נבצע את המצב הראשון באלגוריתם על מנת לצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}


  • שנית, נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}


  • כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}


  • נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:


    • G_1=\frac{A}{a}arctan(\frac{x}{a}) +C


    • G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{1}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}

מצב שלישי deg(p)=deg(q)

  • קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים h=cp-q וגם deg(h)<deg(q).


  • נפריד את האינטגרל לשניים \int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int{1}+\int\frac{h}{q}


  • נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.


מצב רביעי deg(p)>deg(q)

  • נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא p(x)=a(x)q(x)+r(x) כאשר מתקיים deg(r)<deg(q)


  • מתקיים \int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}


  • נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אלגוריתם_לביצוע_אינטגרל_על_פונקציה_רציונאלית&oldid=14390