גרסה מ־20:24, 20 בספטמבר 2016

תוכן עניינים

1 אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
2 דוגמאות
- 2.1 דוגמא 1
- 2.2 דוגמא 2

אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ כאשר $p,q$ פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב $\int f(x)dx$ .

עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).

מצב ראשון $\deg(p)=\deg(q)-1$

ניתן למצוא קבוע /math>c</math> כך ש $h=cp-q'$ כך ש- $\deg(h)<\deg(q)-1$ .

אז רושמים $\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}$

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני $\deg(p)<\deg(q)-1$

נפרק את /math>q</math> לגורמים אי-פריקים:

q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}

כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+ \Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+

+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots

נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום $p$ , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים $A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}$ .
נחשב כל מחובר בנפרד:

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}$

נבצע הצבה $t=x-a$ על מנת לקבל:

I_1=Aln(x-a)+C

I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}$ (כאשר המכנה אי-פריק)

נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל $I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}$

כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה $G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}$

נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
- $G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C$

- $G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}$

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}$ (כאשר המכנה אי-פריק)

דבר ראשון, בדומה למצב הראשון, נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}$

את החלק $I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}$ פותרים לפי הנוסחא לעיל

לחלק הנותר נבצע הצבה $t=x^2+bx+c$ לקבל אינטגרל פתיר מהצורה $I_m=\int\frac{A}{t^m}$

מצב שלישי $deg(p)=deg(q)$

קיים קבוע /math>c</math> כך שקיים פולינום $h$ המקיים $h=cp-q$ וגם $\deg(h)<\deg(q)$ .

נפריד את האינטגרל לשניים $\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}$

נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.

מצב רביעי $deg(p)>deg(q)$

נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא $p(x)=a(x)q(x)+r(x)$ כאשר מתקיים $\deg(r)<\deg(q)$

מתקיים $\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}$

נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.

מצב חמישי $p=f',q=f^m$

$\int\frac{f'}{f^m}$ מבצעים את ההצבה $t=f(x)$

דוגמאות

דוגמא 1

\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx

בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה $t=1-x^4$ ולקבל

\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt

דוגמא 2

\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}

נפרק לשברים חלקיים

\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}

לכן

1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קטגוריה:אינפי]]
 =אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
-תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>.
+תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> .
 '''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
-==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>==
+==מצב ראשון <math>\deg(p)=\deg(q)-1</math>==
+ניתן למצוא קבוע /math>c</math> כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש- <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> .
-ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>.
+אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}</math>
-אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math>
 וממשיכים לשלב הבא:
-==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>==
+==מצב שני <math>\deg(p)<\deg(q)-1</math>==
+*נפרק את /math>q</math> לגורמים אי-פריקים:
-*נפרק את q לגורמים אי פריקים:
+:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
-<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
 *כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
+:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+
-<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+
+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
-\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
 </math>
+:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>
-<math>
+*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>p</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math> .
-+ \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math>
-*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math>.
 *נחשב כל מחובר בנפרד:
 ===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
 נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל:
+:<math>I_1=Aln(x-a)+C</math>
+:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
+===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
-<math>I_1=Aln(x-a)+C</math>
+*נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}</math>
-<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
-===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
-*נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}</math>
 *כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
 *נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
+**<math>G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>
+**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
-**<math>G_1=\frac{A}{a}arctan(\frac{x}{a}) +C</math>
+===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
+*דבר ראשון, בדומה למצב הראשון, נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math>
-**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
-===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
-*דבר ראשון, בדומה למצב הראשון,נצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b) + B}{(x^2+bx+c)^m}</math>
 *את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל
@@ שורה 70: / שורה 48: @@
 ==מצב שלישי <math>deg(p)=deg(q)</math>==
+*קיים קבוע /math>c</math> כך שקיים פולינום <math>h</math> המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>\deg(h)<\deg(q)</math> .
+*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}</math>
-*קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>deg(h)<deg(q)</math>.
-*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int{1}+\int\frac{h}{q}</math>
 *נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
 ==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>==
+*נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>\deg(r)<\deg(q)</math>
-*נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>deg(r)<deg(q)</math>
 *מתקיים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}</math>
 *נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
 ==מצב חמישי <math>p=f',q=f^m</math>==
+<math>\int\frac{f'}{f^m}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math>
-<math>\int {\frac{f'}{f^m}}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math>
 =דוגמאות=
 ===דוגמא 1===
+:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>
-::<math>\int{\frac{x^7}{(1-x^4)^2}}dx</math>
 בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל
+:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>
-::<math>\int{\frac{x^7}{(1-x^4)^2}}dx=\int{\frac{1-t}{-4t^2}}dt</math>
 ==דוגמא 2==
+:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>
-::<math>\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}}dx</math>
 נפרק לשברים חלקיים
+:<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
-::<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
 לכן
+:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>
-::<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"

גרסה מ־20:24, 20 בספטמבר 2016

תוכן עניינים

אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

מצב ראשון $\deg(p)=\deg(q)-1$

מצב שני $\deg(p)<\deg(q)-1$

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}$

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}$ (כאשר המכנה אי-פריק)

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}$ (כאשר המכנה אי-פריק)

מצב שלישי $deg(p)=deg(q)$

מצב רביעי $deg(p)>deg(q)$

מצב חמישי $p=f',q=f^m$

דוגמאות

דוגמא 1

דוגמא 2

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"

גרסה מ־20:24, 20 בספטמבר 2016

תוכן עניינים

אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

מצב ראשון

מצב שני

אינטגרל מהצורה

אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי-פריק)

אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי-פריק)

מצב שלישי

מצב רביעי

מצב חמישי

דוגמאות

דוגמא 1

דוגמא 2

תפריט הניווט

חיפוש

מצב ראשון $\deg(p)=\deg(q)-1$

מצב שני $\deg(p)<\deg(q)-1$

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}$

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}$ (כאשר המכנה אי-פריק)

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}$ (כאשר המכנה אי-פריק)

מצב שלישי $deg(p)=deg(q)$

מצב רביעי $deg(p)>deg(q)$

מצב חמישי $p=f',q=f^m$