הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 6: שורה 6:
  
 
==מצב ראשון <math>\deg(p)=\deg(q)-1</math>==  
 
==מצב ראשון <math>\deg(p)=\deg(q)-1</math>==  
−
ניתן למצוא קבוע /math>c</math> כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש- <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> .
+
ניתן למצוא קבוע <math>c</math> כך ש- <math>h=cp-q'</math> כך ש- <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> .
  
 
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}</math>
 
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}</math>
שורה 13: שורה 13:
  
 
==מצב שני <math>\deg(p)<\deg(q)-1</math>==
 
==מצב שני <math>\deg(p)<\deg(q)-1</math>==
−
*נפרק את /math>q</math> לגורמים אי-פריקים:  
+
*נפרק את <math>q</math> לגורמים אי-פריקים:
 +
 
 
:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
 
:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
  
 
*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
 
*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
 +
 
:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+
 
:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+
 
\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
 
\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
 
</math>
 
</math>
 +
 
:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>
 
:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>
  
שורה 26: שורה 29:
  
 
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
 
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
−
נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל:
+
נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על-מנת לקבל:
−
:<math>I_1=Aln(x-a)+C</math>
+
 
 +
:<math>I_1=A\ln(x-a)+C</math>
 +
 
 
:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
 
:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
  
 
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
 
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
−
*נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}</math>
+
*נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}</math>
  
 
*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
 
*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
שורה 47: שורה 52:
 
*לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>
 
*לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>
  
−
==מצב שלישי <math>deg(p)=deg(q)</math>==
+
==מצב שלישי <math>\deg(p)=\deg(q)</math>==
−
*קיים קבוע /math>c</math> כך שקיים פולינום <math>h</math> המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>\deg(h)<\deg(q)</math> .
+
*קיים קבוע <math>c</math> כך שקיים פולינום <math>h</math> המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>\deg(h)<\deg(q)</math> .
  
 
*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}</math>
 
*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}</math>
שורה 54: שורה 59:
 
*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
 
*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
  
−
==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>==
+
==מצב רביעי <math>\deg(p)>\deg(q)</math>==
 
*נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>\deg(r)<\deg(q)</math>
 
*נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>\deg(r)<\deg(q)</math>
  
שורה 67: שורה 72:
 
===דוגמא 1===
 
===דוגמא 1===
 
:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>
 
:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>
 +
 
בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל
 
בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל
 +
 
:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>
 
:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>
  
 
==דוגמא 2==
 
==דוגמא 2==
 
:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>
 
:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>
 +
 
נפרק לשברים חלקיים
 
נפרק לשברים חלקיים
 +
 
:<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
 
:<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
−
לכן  
+
 
 +
לכן
 +
 
 
:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>
 
:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>

גרסה מ־11:30, 3 בנובמבר 2016

אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב \int f(x)dx .

עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).

מצב ראשון \deg(p)=\deg(q)-1

ניתן למצוא קבוע c כך ש- h=cp-q' כך ש- \deg(h)<\deg(q)-1 .

אז רושמים \int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני \deg(p)<\deg(q)-1

  • נפרק את q לגורמים אי-פריקים:
q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}
  • כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+ \Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots
  • נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j} .
  • נחשב כל מחובר בנפרד:

אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}

נבצע הצבה t=x-a על-מנת לקבל:

I_1=A\ln(x-a)+C
I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C

אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} (כאשר המכנה אי-פריק)

  • נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}
  • כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}
  • נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
    • G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C
    • G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}

אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m} (כאשר המכנה אי-פריק)

  • דבר ראשון, בדומה למצב הראשון, נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}
  • את החלק I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m} פותרים לפי הנוסחא לעיל
  • לחלק הנותר נבצע הצבה t=x^2+bx+c לקבל אינטגרל פתיר מהצורה I_m=\int\frac{A}{t^m}

מצב שלישי \deg(p)=\deg(q)

  • קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים h=cp-q וגם \deg(h)<\deg(q) .
  • נפריד את האינטגרל לשניים \int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}
  • נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.

מצב רביעי \deg(p)>\deg(q)

  • נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא p(x)=a(x)q(x)+r(x) כאשר מתקיים \deg(r)<\deg(q)
  • מתקיים \int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}
  • נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.

מצב חמישי p=f',q=f^m

\int\frac{f'}{f^m} מבצעים את ההצבה t=f(x)

דוגמאות

דוגמא 1

\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx

בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה t=1-x^4 ולקבל

\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt

דוגמא 2

\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}

נפרק לשברים חלקיים

\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}

לכן

1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אלגוריתם_לביצוע_אינטגרל_על_פונקציה_רציונאלית&oldid=68094