אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב $\int f(x)dx$ כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים.

פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.

מצב ראשון $deg(p)=deg(q)-1$

ניתן למצוא קבוע c כך ש $h=cp-q'$ כך ש$deg(h)<deg(q)-1$.

אז רושמים $\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q}$

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני $deg(p)<deg(q)-1$

• נפרק את q לגורמים אי פריקים:

$q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}$

• כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

$\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big] + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...$

• נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים $A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}$.

• נחשב כל מחובר בנפרד:

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}$

נבצע הצבה $t=x-a$ על מנת לקבל:

$I_1=Aln(x-a)+C$

$I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C$