אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב $\int f(x)dx$.

עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).

מצב ראשון $deg(p)=deg(q)-1$

ניתן למצוא קבוע c כך ש $h=cp-q'$ כך ש$deg(h)<deg(q)-1$.

אז רושמים $\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q}$

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני $deg(p)<deg(q)-1$

• נפרק את q לגורמים אי פריקים:

$q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}$

• כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

$\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big] + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...$

• נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים $A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}$.

• נחשב כל מחובר בנפרד:

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}$

נבצע הצבה $t=x-a$ על מנת לקבל:

$I_1=Aln(x-a)+C$

$I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C$

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}$ (כאשר המכנה אי פריק)

• נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל $I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}$

• כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה $G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}$

• נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:

• • $G_1=\frac{A}{a}arctan(\frac{x}{a}) +C$

• • $G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{1}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}$

אינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}$ (כאשר המכנה אי פריק)

• דבר ראשון, בדומה למצב הראשון,נצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה $I_m=\int\frac{A(2x+b) + B}{(x^2+bx+c)^m}$

• את החלק $I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}$ פותרים לפי הנוסחא לעיל

• לחלק הנותר נבצע הצבה $t=x^2+bx+c$ לקבל אינטגרל פתיר מהצורה $I_m=\int\frac{A}{t^m}$

מצב שלישי $deg(p)=deg(q)$

• קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים $h=cp-q$ וגם $deg(h)<deg(q)$.

• נפריד את האינטגרל לשניים $\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int{1}+\int\frac{h}{q}$

• נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.

מצב רביעי $deg(p)>deg(q)$

• נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא $p(x)=a(x)q(x)+r(x)$ כאשר מתקיים $deg(r)<deg(q)$

• מתקיים $\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}$

• נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.