הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1"

גרסה מ־10:22, 9 באוקטובר 2018

תוכן עניינים

1 הגדרה
- 1.1 חלק ממשי וחלק מדומה
2 נורמה וצמוד
- 2.1 נורמה
  - 2.1.1 תכונות הנורמה
    - 2.1.1.1 תרגיל
- 2.2 צמוד
  - 2.2.1 תכונות הצמוד
  - 2.2.2 תרגיל
3 מציאת הופכי וחילוק
- 3.1 תרגיל
- 3.2 תרגיל

הגדרה

כידוע אין שורש ממשי למספר $-1$ . כלומר $\sqrt{-1}\notin \mathbb{R}$ .

בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל $-1$ : שדה המספרים המרוכבים!

אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:

1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.

2. איך לחבר ביניהם.

3. איך להכפיל ביניהם.

נסמן ב $i$ איבר מסויים, ונגדיר $i\cdot i=-1$ . במילים אחרות $i=\sqrt{-1}$ . המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה $a+bi$ כאשר $a,b\in \mathbb{R}$ . כלומר, $\mathbb{C}=\{a+bi|a,b\in \mathbb{R}\}$ . שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים $b=0$ .

חיבור: $(a+bi)+(x+yi):=(a+x)+(b+y)i$ .

כפל: $(a+bi)\cdot (x+yi):=(ax-by)+(ay+bx)i$ .

לדוגמא: נסמן $z=5+\frac{1}{3}i,w=2+\frac{2}{3}i$ . נקבל: $z+w=(5+2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})i=7+i$ , וכן $z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i$ .

חלק ממשי וחלק מדומה

יהי $z=a+bi\in \mathbb{C}$ . נגדיר את החלק הממשי שלו להיות: $Re(z)=a$ , ואת החלק המדומה שלו להיות $Im(z)=b$ . שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!!

דוגמא: $Re(\sqrt{2}-\pi i)=\sqrt{2},Im(\sqrt{2}-\pi i)=-\pi$ .

שימו לב שמספר מרוכב $z$ הוא ממשי אם ורק אם $Im(z)=0$ .

מספר מרוכב $z$ נקרא מדומה טהור אם $Re(z)=0$ . למשל $2i$ .

נורמה וצמוד

נורמה

במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה $|\cdot |:\mathbb{C}\to \mathbb{R}$ המוגדרת ע"י: $|z=a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ . מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.

תכונות הנורמה

1. כפליות: $\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ .

2. אי שליליות: $\forall z\in \mathbb{C}:|z|\geq 0$ , ומתקיים: $|z|=0\iff z=0$ .

3. אי שיוויון המשולש: $\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$ .

תרגיל

הוכיחו: $\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||$ .

הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.

פתרון: נסמן $a=z-w,b=w$ . נשים לב ש $z=z-w+w=a+b$ ולכן $|z|=|a+b|$ . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: $|z|=|a+b|\leq |a|+|b|=|z-w|+|w|$ . נעביר אגפים לקבל $|z|-|w|\leq |z-w|$ .

בדומה, נסמן $a=w-z,b=z$ . נשים לב ש $w=w-z+z=a+b$ ולכן $|w|=|a+b|$ . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: $|w|=|a+b|\leq |a|+|b|=|w-z|+|z|=|z-w|+|z|$ . נעביר אגפים לקבל $|w|-|z|\leq |z-w|$ .

נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל $\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||$ .

צמוד

לכל מספר מרוכב $z=a+bi$ נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות $\overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi$ . לדוג': $\overline{\pi-\sqrt{3}i}=\pi +\sqrt{3}i$ .

תכונות הצמוד

1. כפליות: $\forall z,w\in \mathbb{C}:\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}$ .

2. חיבוריות: $\forall z,w\in \mathbb{C}:\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w}$ .

3. אותה נורמה: $\forall z\in \mathbb{C}:|z|=|\overline{z}|$ .

תרגיל

הוכיחו שלכל מספר מרוכב $z$ מתקיים:

1. $z\cdot \overline{z}=|z|^2$ .

2. $z+\overline{z}=2Re(z)$ .

3. $z-\overline{z}=2Im(z)i$

פתרון: נסמן $z=a+bi$ ונחשב:

$z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2$ .

$z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a=2Re(z)$ .

$z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)2bi=2Im(z)i$

מציאת הופכי וחילוק

עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי.

ש: איך נמצא את ההופכי?

ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$ .

תרגיל

מצא את ההופכי של $7-4i$ .

פתרון: לפי המסקנה נקבל: $(7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65} i$ .

תרגיל

הצג את הביטוי הבא בצורה $z=a+bi$ וציין מהם $Re(z),Im(z),\overline{z},|z|$ . הביטוי הינו: $\frac{5+2i}{2-3i}$

פתרון: נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה $\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}$ .

נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי $\frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1}$ וכעת רשמנו $(5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}]$

לפיכך נקבל:

$z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i$ .

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}}$ .

$Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13}$ .

$\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i$ .

@@ שורה 99: / שורה 99: @@
 מצא את ההופכי של <math>7-4i</math>.
-'''פתרון:''' לפי המסקנה נקבל: <math>(7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65}i</math>.
+'''פתרון:''' לפי המסקנה נקבל: <math>(7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65} i</math>.
 ====תרגיל====

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1"

גרסה מ־10:22, 9 באוקטובר 2018

תוכן עניינים

הגדרה

חלק ממשי וחלק מדומה

נורמה וצמוד

נורמה

תכונות הנורמה

תרגיל

צמוד

תכונות הצמוד

תרגיל

מציאת הופכי וחילוק

תרגיל

תרגיל

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים