אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1

הגדרה

כידוע אין שורש ממשי למספר $-1$. כלומר $\sqrt{-1}\notin \mathbb{R}$.

בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל $-1$: שדה המספרים המרוכבים!

אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:

1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.

2. איך לחבר ביניהם.

3. איך להכפיל ביניהם.

נסמן ב $i$ איבר מסויים, ונגדיר $i\cdot i=-1$. במילים אחרות $i=\sqrt{-1}$. המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה $a+bi$ כאשר $a,b\in \mathbb{R}$. כלומר, $\mathbb{C}=\{a+bi|a,b\in \mathbb{R}\}$. שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים $b=0$.

חיבור: $(a+bi)+(x+yi):=(a+x)+(b+y)i$.

כפל: $(a+bi)\cdot (x+yi):=(ax-by)+(ay+bx)i$.

לדוגמא: נסמן $z=5+\frac{1}{3}i,w=2+\frac{2}{3}i$. נקבל: $z+w=(5+2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})i=7+i$, וכן $z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i$.

נורמה

במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה $|\cdot |:\mathbb{C}\to \mathbb{R}$ המוגדרת ע"י: <=\sqrt{a^2+b^2}math>|z=a+bi|(</math>