אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרה

כדי להבין פנקציות מהצורה $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ צריך להבין מה עושה פונקציה $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.

לדוג': $f(x,y)=\sin(x+y)-x$ ועוד כהנה וכהנה.

במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה $f(a+bi)=2ab-ba^2i$, זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: $U(a,b)=2ab,V(a,b)=-ba^2$ ואז נקבל: $f(a+bi)=U(a,b)+V(a,b)i$.

רציפות

הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ רציפה ב$z_0$ אם לכל סדרה $z_n\to z_0$ מתקיים: $|f(z_n)-f(z_0)|\to 0$. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.

משפטים

כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר של רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.

משפט חשוב: $f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)$ רציפה אם ורק אם $U,V$ רציפות.

לכן, חשוב להבין רציפות של פונקציות בשתי משתנים.

רציפות של פונקציות בשני משתנים

פונקציה $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ רציפה בנק' $(x_0,y_0)$ אם לכל זוג סדרות $x_n\to x_0,y_n\to y_0$ מתקיים: $|f(x_n,y_n)-f(x_0,y_0)|\to 0$. כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.

תרגיל

האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: $f(x,y)=\begin{cases} \frac{\sin x}{y} & y\neq0\\ 1 & y=0 \end{cases}$

אם לא, האם ניתן להגדיר אחרת ב$(0,0)$ כדי שכן תהיה רציפה שם?

פתרון

לא ולא! על מנת להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות $x_{n}\to 0,y_{n}\to 0$ עבורן לא מתקיים: $|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0$. וזה מה שנעשה כאן:

אם נקבע את סדרת האיקסים להיות תמיד אפס, כלומר, $x_{n}=0$, וניקח למשל $y_{n}=\frac{1}{n}$, אז נקבל סדרת אפסים (כי המונה תמיד אפס), ולכן הגבול גם הוא אפס (הסדרה היא $f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin0}{\frac{1}{n}}=0$). כיון שהגבול שונה מערך הפונקציה ב$(0,0)$ נובע שהפונקציה לא רציפה.

הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע $f(0,0)=0$ כי אם ניקח את הסדרות $x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n}$ נקבל $f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1$ לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".