הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 6"

גרסה מ־09:37, 11 בדצמבר 2018

תוכן עניינים

1 אקסופנט
- 1.1 תרגיל
  - 1.1.1 פתרון
- 1.2 תרגיל
  - 1.2.1 פתרון

אקסופנט

ראינו בשבוע שעבר שהפונקציה $f(x+yi)=e^x(\cos y+i\sin y)$ גזירה ומקיימת $f'(z)=f(z)$ , וראיתם בהרצאה שהיא מקיימת את כל התכונות הנדרשות לפונקציית האקספוננט, ולכן הגדרנו: $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$ .

לדוגמא, נחשב $e^{1+\frac{\pi}{4}i}$ :

$e^{1+\frac{\pi}{4}i}=e^1(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4})=e(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\frac{e\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ .

תרגיל

כידוע, בממשיים מתקיים $e^x>0$ . מה לגבי המרוכבים? האם קיים $z\in \mathbb{C}$ כך ש $e^z$ הוא ממשי וקטן מאפס?

פתרון

כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש $x,y\in \mathbb{R}$ כך ש $e^x(\cos y+i\sin y)=-e$ .

ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש $\sin y=0$ , ולכן $y=0+\pi k$ . כעת נקבל $\cos y\in \{-1,0,1\}$ , וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה $\cos y=-1$ , ולכן ניקח $y=\pi$ .

מה שקיבלנו עד כה זה $e^{x+\pi i}=-e^x$ , ולכן אם ניקח $x=\ln e=1$ נקבל $e^{1+\pi i}=-e$ כדרוש.

באופן כללי: יהי $t<0$ ממשי. נבחר $z=\ln |t|+\pi i$ ונקבל $e^z=-e^{\ln |t|}=-|t|=t$ .

תרגיל

הוכיחו שמתקיים: $e^{\overline{z}}=\overline{e^z}$

פתרון

לפי הגדרה: $e^{\overline{z}}=e^{x-yi}=e^x(\cos(-y)+i\sin(-y))=e^x(\cos y-i\sin y)=\overline{e^x(\cos y+i\sin y)}=\overline{e^z}$ .

@@ שורה 15: / שורה 15: @@
 כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש <math>x,y\in \mathbb{R}</math> כך ש <math>e^x(\cos y+i\sin y)=-e</math>.
-ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש <math>\sin y=0</math>, ולכן <math>y=0+\pi k</math>. כעת נקבל <math>\cos y\in \{-,0,1\}</math>, וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה <math>\cos y=-1</math>, ולכן ניקח <math>y=\pi</math>.
+ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש <math>\sin y=0</math>, ולכן <math>y=0+\pi k</math>. כעת נקבל <math>\cos y\in \{-1,0,1\}</math>, וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה <math>\cos y=-1</math>, ולכן ניקח <math>y=\pi</math>.
 מה שקיבלנו עד כה זה <math>e^{x+\pi i}=-e^x</math>, ולכן אם ניקח <math>x=\ln e=1</math> נקבל <math>e^{1+\pi i}=-e</math> כדרוש.

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 6"

גרסה מ־09:37, 11 בדצמבר 2018

תוכן עניינים

אקסופנט

תרגיל

פתרון

תרגיל

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים