הבדלים בין גרסאות בדף "דטרמיננטה לפי תמורות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 11: שורה 11:
  
 
לדוגמה: אם יש לנו מטריצה כזאת:
 
לדוגמה: אם יש לנו מטריצה כזאת:
−
<math>\begin{pmatrix} 10& 12&13 \\  4& 5&6 \\  7& 8&9  \end{pmatrix}</math>
+
<math>\begin{pmatrix} 1& 2&3 \\  3& 20&6 \\  9& 4&9  \end{pmatrix}</math>
  
 
אזי התמורות האפשריות הם כך(עבור כל שורה ושורה בנפרד, המספרים כאן מייצגים את העמודות כלומר J):
 
אזי התמורות האפשריות הם כך(עבור כל שורה ושורה בנפרד, המספרים כאן מייצגים את העמודות כלומר J):
שורה 30: שורה 30:
 
ניקח דוגמה לתמורה כלשהי: נניח שהתמורה שלנו היא התמורה בשורה הראשונה,ועוד נניח שכעת אנו נמצאים בתמורה כמו השורה הראשונה(*), לכן עבור אינדקס של J =1 יהיה לנו 12, כי הסיגמה על 1 נותן לנו את העמודה השניה, אם היה לנו J=2 היינו מקבלים 13 כי הסיגמה עליו נותנת את העמודה השלישית.
 
ניקח דוגמה לתמורה כלשהי: נניח שהתמורה שלנו היא התמורה בשורה הראשונה,ועוד נניח שכעת אנו נמצאים בתמורה כמו השורה הראשונה(*), לכן עבור אינדקס של J =1 יהיה לנו 12, כי הסיגמה על 1 נותן לנו את העמודה השניה, אם היה לנו J=2 היינו מקבלים 13 כי הסיגמה עליו נותנת את העמודה השלישית.
 
ואז עושים אותו הדבר בשורה השניה והשלישית, והדטרמיננטה יוצאת מה שהיא יוצאת לפי הנוסחה.
 
ואז עושים אותו הדבר בשורה השניה והשלישית, והדטרמיננטה יוצאת מה שהיא יוצאת לפי הנוסחה.
 +
 +
הדטרמיננטה של המטריצה בדוגמה למעלה היא מינוס מאתיים תשעים וארבע.

גרסה מ־16:22, 4 באפריל 2012

הדטרמיננטה של מטריצה בגודל \!\, n\times n מוגדרת על-פי הנוסחה הבאה:

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}

הסכום בנוסחה הוא על \ n! התמורות \,\! \sigma האפשריות של המספרים \!\, \left\{1,2,\dots,n\right\}. הסימן \!\, \operatorname{sgn}(\sigma) מתקבל על פי זוגיות התמורה. אם התמורה זוגית, \,\! \operatorname{sgn}(\sigma)=1, אם היא אי זוגית, \!\, \operatorname{sgn}(\sigma)=-1.

מעשית: עושים \ n! סכומים על כל הצורות (סידורים) האפשריות של הכפלת n איברים לפי התאמה חד חד ערכית בין קבוצת (אינדקס) השורות לקבוצת (אינדקס) העמודות. מקדם התמורה יקבע לפי מספר האיברים בסידור שלגביהם מספר (אינדקס) השורה גדול ממספר העמודה, אם המספר זוגי המקדם יהיה +, ואם אי זוגי הוא יהיה -.



לדוגמה: אם יש לנו מטריצה כזאת: \begin{pmatrix} 1& 2&3 \\ 3& 20&6 \\ 9& 4&9 \end{pmatrix}

אזי התמורות האפשריות הם כך(עבור כל שורה ושורה בנפרד, המספרים כאן מייצגים את העמודות כלומר J):

(*) 1->2->3

1->2 3->3

1->3 2->2

1->3->2

1->1 2->2 3->3

1->1 2->3 עבור השורה הראשונה וכך גם לשאר השורות.

ניקח דוגמה לתמורה כלשהי: נניח שהתמורה שלנו היא התמורה בשורה הראשונה,ועוד נניח שכעת אנו נמצאים בתמורה כמו השורה הראשונה(*), לכן עבור אינדקס של J =1 יהיה לנו 12, כי הסיגמה על 1 נותן לנו את העמודה השניה, אם היה לנו J=2 היינו מקבלים 13 כי הסיגמה עליו נותנת את העמודה השלישית. ואז עושים אותו הדבר בשורה השניה והשלישית, והדטרמיננטה יוצאת מה שהיא יוצאת לפי הנוסחה.

הדטרמיננטה של המטריצה בדוגמה למעלה היא מינוס מאתיים תשעים וארבע.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=דטרמיננטה_לפי_תמורות&oldid=21362