הבדלים בין גרסאות בדף "דמיון בין מטריצות"

גרסה מ־16:11, 22 באוקטובר 2012

נביט בקבוצה כל המטריצות הריבועיות מסדר n ונגדיר את יחס הדמיון בין מטריצות על ידי:

A דומה ל B אם קיימת מטריצה הפיכה P כך ש

A=P^{-1}BP

משלושת אלה יחדיו נסיק כי:

מטריצות הינן דומות זו לזו אם"ם הן מייצגות את אותה העתקה לינארית לפי בסיסים כלשהם

לכן על מנת לחקור העתקות לינאריות נמצא מטריצה "יפה" הדומה למטריצה המייצגת את ההעתקה.

נבחן את המטריצה

\begin{pmatrix}1.5 & -0.5\\ -0.5 & 1.5\end{pmatrix}

מטריצה זו מייצגת את ההעתקה הלינארית הבאה:

T(a,b)=\Big(\frac{3a-b}{2},\frac{3b-a}{2}\Big)

לאחר מציאת ערכים עצמיים והפעלת אלגוריתם ללכסון מטריצה נקבל כי המטריצה המייצגת את T הינה

[T]_B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}

כאשר $B=\{v_1=(1,1),v_2=(1,-1)\}$

לכן לפי התכונות של מטריצה מייצגת מתקיים

Tv_1=v_1,Tv_2=2v_2

במילים פיזיקליות, ההעתקה מכפילה את הכוח בכיוון 135 מעלות.

הערה:

אמנם לא כל העתקה ניתן להביא לצורה יפה כזו, אך כאשר נלמד את משפט ז'ורדן נאפיין בדיוק את כל ההעתקות הלינאריות מעל המרוכבים לפי צורות הז'ורדן שלהן.

@@ שורה 18: / שורה 18: @@
 ===דוגמא===
-נבחן את ההעתקה הלינארית הבאה:
+נבחן את המטריצה
+::<math>\begin{pmatrix}1.5 & -0.5\\ -0.5 & 1.5\end{pmatrix}</math>
+מטריצה זו מייצגת את ההעתקה הלינארית הבאה:
 ::<math>T(a,b)=\Big(\frac{3a-b}{2},\frac{3b-a}{2}\Big)</math>
 לאחר מציאת [[וקטור עצמי|ערכים עצמיים]] והפעלת [[אלגוריתם ללכסון מטריצה]] נקבל כי המטריצה המייצגת את T הינה