הבדלים בין גרסאות בדף "דמיון בין מטריצות"

גרסה אחרונה מ־11:35, 25 באוקטובר 2012

הגדרה

נביט בקבוצה כל המטריצות הריבועיות מסדר n ונגדיר את יחס הדמיון בין מטריצות על ידי:

A דומה ל B אם קיימת מטריצה הפיכה P כך ש

A=P^{-1}BP

שימוש בדמיון לחקר העתקות לינארית

ראשית, קל להראות כי יחס הדמיון הינו יחס שקילות

שנית, ניזכר כי כל מטריצה הפיכה מהווה מטריצת מעבר בין בסיסים

שלישית נזכר בנוסחא להעברת בסיסים של מטריצה המייצגת העתקה

משלושת אלה יחדיו נסיק כי:

מטריצות הינן דומות זו לזו אם"ם הן מייצגות את אותה העתקה לינארית לפי בסיסים כלשהם

לכן על מנת לחקור העתקות לינאריות נמצא מטריצה "יפה" הדומה למטריצה המייצגת את ההעתקה.

דוגמא

נבחן את המטריצה

\begin{pmatrix}1.5 & -0.5\\ -0.5 & 1.5\end{pmatrix}

מטריצה זו מייצגת את ההעתקה הלינארית הבאה:

T(a,b)=\Big(\frac{3a-b}{2},\frac{3b-a}{2}\Big)

לאחר מציאת ערכים עצמיים והפעלת אלגוריתם ללכסון מטריצה נקבל כי המטריצה המייצגת את T הינה

[T]_B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}

כאשר $B=\{v_1=(1,1),v_2=(1,-1)\}$

לכן לפי התכונות של מטריצה מייצגת מתקיים

Tv_1=v_1,Tv_2=2v_2

במילים פיזיקליות, ההעתקה מכפילה את הכוח בכיוון 135 מעלות.

הערה:

אמנם לא כל העתקה ניתן להביא לצורה יפה כזו, אך כאשר נלמד את משפט ז'ורדן נאפיין בדיוק את כל ההעתקות הלינאריות מעל המרוכבים לפי צורות הז'ורדן שלהן.

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 ::<math>A=P^{-1}BP</math>
-==שימושים==
+==שימוש בדמיון לחקר העתקות לינארית==
+*ראשית, קל להראות כי יחס הדמיון הינו [[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2#יחסי שקילות|יחס שקילות]]
+*שנית, ניזכר כי '''כל''' מטריצה הפיכה מהווה [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6#מטריצות מעבר בין בסיסים|מטריצת מעבר בין בסיסים]]
+*שלישית נזכר בנוסחא להעברת בסיסים של [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9#מחלקת שקילות של מטריצות המייצגות העתקה|מטריצה המייצגת העתקה]]
+משלושת אלה יחדיו נסיק כי:
+::מטריצות הינן דומות זו לזו אם"ם הן מייצגות את אותה העתקה לינארית לפי בסיסים כלשהם
+לכן על מנת '''לחקור העתקות לינאריות''' נמצא מטריצה "יפה" הדומה למטריצה המייצגת את ההעתקה.
+===דוגמא===
+נבחן את המטריצה
+::<math>\begin{pmatrix}1.5 & -0.5\\ -0.5 & 1.5\end{pmatrix}</math>
+מטריצה זו מייצגת את ההעתקה הלינארית הבאה:
+::<math>T(a,b)=\Big(\frac{3a-b}{2},\frac{3b-a}{2}\Big)</math>
+לאחר מציאת [[וקטור עצמי|ערכים עצמיים]] והפעלת [[אלגוריתם ללכסון מטריצה]] נקבל כי המטריצה המייצגת את T הינה
+::<math>[T]_B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}</math>
+כאשר <math>B=\{v_1=(1,1),v_2=(1,-1)\}</math>
+לכן לפי התכונות של מטריצה מייצגת מתקיים
+::<math>Tv_1=v_1,Tv_2=2v_2</math>
+במילים פיזיקליות, ההעתקה מכפילה את הכוח בכיוון 135 מעלות.
+'''הערה:'''
+אמנם לא כל העתקה ניתן להביא לצורה יפה כזו, אך כאשר נלמד את [[משפט ז'ורדן]] נאפיין בדיוק את '''כל''' ההעתקות הלינאריות מעל המרוכבים לפי צורות הז'ורדן שלהן.
 [[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

הבדלים בין גרסאות בדף "דמיון בין מטריצות"

גרסה אחרונה מ־11:35, 25 באוקטובר 2012

הגדרה

שימוש בדמיון לחקר העתקות לינארית

דוגמא

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים