היטל

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הגדרה

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו W תת מרחב של V וv\in V וקטור. ההגדרות הבאות למושג היטל v על המרחב W שקולות:

א. יהי B=\{w_1,...,w_n\} בסיס אורתוגונלי לתת המרחב W, אזי ההיטל הינו \pi_W(v)=\sum_{i=1}^n \frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i (התוצאה לא תלוייה בבחירת הבסיס)

ב. ההיטל הוא הוקטור \pi_W(v)\in W המקיים v-\pi_W(v)\in W^\perp

תרגילים

0

הוכח כי בהגדרה הראשונה להיטל, בחירת הבסיס אינה משנה (כלומר ההיטל נשאר זהה לכל בחירת בסיס).

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהי W תת מרחב. הוכיחו כי לכל v\in V

||v-\pi_W(v)||\leq ||v||


פתרון:

ניקח בסיס אורתוגונלי \{w_1,...,w_k\} למרחב W, ונשלים אותו לבסיס אורתוגונלי \{w_1,...,w_n\} למרחב כולו.

אזי

||v-\pi_W(v)||^2=||\sum_{i=k+1}^n\frac{<v,w_i>}{<w_i,w_i>}w_i||^2=\sum_{i=k+1}^n|<v,w_i>|^2\leq \sum_{i=1}^n|<v,w_i>|^2=||v||^2

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל \mathbb{C} ממימד n ויהי U\subseteq V תת מרחב ממימד k

א. הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי \{v_1,...,v_n\} למרחב V מתקיים \sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k

ב. יהי S=\{s_1,...,s_n\} בסיס כלשהו למרחב V ותהי G_S מטריצת הגראם של S. הוכיחו כי:

|G_S|\leq ||s_1||^2\cdot ||s_2||^2\cdots ||s_n||^2


פתרון:

א. ניקח בסיס אורתונורמלי כלשהו \{u_1,...,u_k\} לתת המרחב U

\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=\sum_{i=1}^n<\pi_U(v_i),\pi_U(v_i)>=\sum_{i=1}^n\Big(<\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j,\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>u_j>\Big)=

=\sum_{i=1}^n\Big(\sum_{j=1}^k<v_i,u_j>\overline{<v_i,u_j>}\Big)=\sum_{j=1}^k\Big(\sum_{i=1}^n\overline{<u_j,v_i>}<u_j,v_i>>\Big)=

=\sum_{j=1}^k\Big(<\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i,\sum_{i=1}^n<u_j,v_i>v_i>\Big)=\sum_{j=1}^k||\pi_V(u_j)||^2


אבל \pi_V(u_j)=u_j וכיוון שזה בסיס אורתונורמלי אורך כל איברי הבסיס הוא אחד, ולכן הסכום לעיל שווה בדיוק k.


ב.

ראשית, נפעיל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת לקבל בסיס אורתוגונלי W=\{w_1,...,w_n\}, כלומר נשתמש בנוסחאת הנסיגה:

w_1=s_1
w_i=s_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{<s_i,w_j>}{<w_j,w_j>}w_j


לכן קל לראות כי מטריצת המעבר בין הבסיסים [I]^W_S הינה מטריצה משולשית עליונה עם אחדות על האלכסון ולכן |[I]^W_S|=1


לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם אנו מקבלים כי

G_S=\Big([I]^W_S\Big)^tG_W\overline{[I]^W_S}

ולכן

|G_S|=|G_W|


אבל W בסיס אורתוגונלי ולכן |G_W|=||w_1||^2\cdots ||w_n||^2


ולכן כל שנותר להראות הוא כי ||w_i||\leq ||s_i||


אכן, כפי שראינו בתרגיל קודם, אם מחסירים מוקטור היטלים שלו על תתי מרחבים, הנורמה קטנה.

3

יהי V מרחב מכפלה פנימית ויהיו U,W\subseteq V תתי מרחבים כך ש \dim{U}=m, \dim{W}=k

א. הוכיחו כי <v,u>=<\pi_U(v),u> לכל u\in U, v\in V


ב. נגדיר אופרטור P_U:U\rightarrow U ע"י P_U(u)=\pi_U(\pi_W(u)).

הוכיחו כי לכל שני וקטורים u_1,u_2\in U מתקיים <P_U(u_1),u_2>=<u_1,P_U(u_2)>


פתרון:

א. כפי שראינו בהגדרה השנייה, \Big(v-\pi_U(v)\Big)\in U^\perp ולכן

<v-\pi_U(v),u>=0

נשתמש בלינארית ברכיב ראשון ונעביר אגף על מנת לקבל

<v,u>=<\pi_U(v),u>


ב.

<P_U(u_1),u_2>=<\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2>

כיוון ש u_2\in U לפי סעיף א' מתקיים:

<\pi_U(\pi_W(u_1)),u_2>=<\pi_W(u_1),u_2>

אבל \pi_W(u_1)\in W ולכן

<\pi_W(u_1),u_2>=<\pi_W(u_1),\pi_W(u_2)>= <u_1,\pi_W(u_2)>

שוב, כיוון שu_1\in U מתקיים

<u_1,\pi_W(u_2)>=<u_1,\pi_U(\pi_W(u_2))>=<u_1,P_U(u_2)>