הבדלים בין גרסאות בדף "הפולינום האופייני"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(הגדרה)
(קשר בין פולינום אופייני לע"ע)
שורה 7: שורה 7:
  
 
==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==
 
==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==
 +
התנאים הבאים שקולים:
 +
 +
*x ע"ע של המטריצה A
 +
*קיים v שונה מאפס כך ש Av=xv
 +
*קיים v שונה מאפס כך ש Av-xv=0
 +
*קיים v שונה מאפס כך ש <math>(A-xI)v=0</math>
 +
*קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית <math>(A-xI)v=0</math>
 +
*<math>N(A-xI)\neq 0</math>
 +
*<math>\Big|A-xI\Big|=0</math>
 +
*<math>f_A(x)=0</math>
 +
 +
אם כך: x הינו ע"ע של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A

גרסה מ־13:31, 2 באפריל 2012

הגדרה

תהי A מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:

f_A(x):=\Big|xI-A\Big|

קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x.

קשר בין פולינום אופייני לע"ע

התנאים הבאים שקולים:

  • x ע"ע של המטריצה A
  • קיים v שונה מאפס כך ש Av=xv
  • קיים v שונה מאפס כך ש Av-xv=0
  • קיים v שונה מאפס כך ש (A-xI)v=0
  • קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית (A-xI)v=0
  • N(A-xI)\neq 0
  • \Big|A-xI\Big|=0
  • f_A(x)=0

אם כך: x הינו ע"ע של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A