וקטור עצמי

הגדרה

יהי שדה F, ותהי $A\in F^{n\times n}$ מטריצה ריבועית מעל השדה

יהיו $0\neq v\in F^n$ ו-$\lambda\in F$ כך ש:

$Av=\lambda v$

אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו$\lambda$ הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.

חישוב ע"ע וו"ע

נביט ב$f_A$ הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי $\lambda$ הוא ע"ע של A אם"ם $f_A(\lambda)=0$.

כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.

לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי:

$V_\lambda=\{v\in F^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)$

(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)

דוגמאות

א

מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה

$A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix}$

פתרון.

קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של $A$:

$f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)$

לכן הערכים העצמיים של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם 2 ו6.

כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של $A$.

המרחב העצמי של $\lambda$ שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית $(A-\lambda I)v=0$.

בסיס למרחב האפס $N(A-2I)$ הינו $\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}$ ובסיס למרחב האפס $N(A-6I)$ הינו $\{(1,2,1)\}$.

ב

מצא ע"ע וו"ע של המטריצה $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$ מעל הממשיים ומעל המרוכבים.

פתרון.

קל לראות כי הפולינום האופייני הינו $f_\lambda = x^2+1$, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיוון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.

לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הינם $\pm i$ והבסיסים למרחבים העצמיים הינם $\{(1,i)\},\{(1,-i)\}$