גרסה מ־12:34, 15 באוקטובר 2020

תוכן עניינים

הטבעיים $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$
השלמים $\mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\}$
הרציונאליים $\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}|p\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}$
הממשיים $\mathbb{R}$ , כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים

תהי אזי:
- $M\in\mathbb{A}$ נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\leq M$
- $M\in\mathbb{R}$ נקרא חסם מלעיל של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\leq M$
- $m\in\mathbb{A}$ נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\geq M$
- $m\in\mathbb{R}$ נקרא חסם מלרע של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\geq M$

כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן $\sup(A)$
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן $\inf(A)$

בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה $A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}$ אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.

תהי ויהי אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר $M-\varepsilon<M$ קיים מספר $a\in A$ כך ש $a>M-\varepsilon$
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר $m<m+\varepsilon$ קיים מספר $a\in A$ כך ש $a<m+\varepsilon$

@@ שורה 51: / שורה 51: @@
+*תהי <math>A\subseteq \mathbb{R}</math> ויהי <math>M\in\mathbb{R}</math> אזי:
+**M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר <math>M-\varepsilon<M</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\varepsilon</math>
+**m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר <math>m<m+\varepsilon</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\varepsilon</math>