גרסה מ־12:41, 15 באוקטובר 2020

תוכן עניינים

הטבעיים $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$
השלמים $\mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\}$
הרציונאליים $\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}|p\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}$
הממשיים $\mathbb{R}$ , כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים

תהי אזי:
- $M\in\mathbb{A}$ נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\leq M$
- $M\in\mathbb{R}$ נקרא חסם מלעיל של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\leq M$
- $m\in\mathbb{A}$ נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\geq M$
- $m\in\mathbb{R}$ נקרא חסם מלרע של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\geq M$

כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן $\sup(A)$
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן $\inf(A)$

בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה $A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\}$ אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.

תהי ויהי אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר $M-\varepsilon<M$ קיים מספר $a\in A$ כך ש $a>M-\varepsilon$
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר $m<m+\varepsilon$ קיים מספר $a\in A$ כך ש $a<m+\varepsilon$

הגדרת הגבול של סדרה:
תהי סדרה ממשית $a_n$ ויהי מספר ממשי $L\in\mathbb{R}$ .
הינו גבול הסדרה (מסומן או ) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק $\varepsilon>0$ קיים מקום $N\in\mathbb{N}$ כך שאחריו לכל $n>N$ מתקיים כי $|a_n-L|<\varepsilon$

נגדיר ש $a_n\to\infty$ אם לכל $M>0$ קיים $N\in\mathbb{N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים כי $a_n>M$
נגדיר ש $a_n\to -\infty$ אם $-a_n\to\infty$

@@ שורה 59: / שורה 59: @@
 ==פרק 2 - סדרות==
+*הגדרת הגבול של סדרה:
+*תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ויהי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math>.
+*<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם:
+**לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
+**לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>N\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>N</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>
 <videoflash>mMVBYUDmSA0</videoflash>
+*נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>N\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math>
+*נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math>
+*טענה: תהי <math>a_n\to \infty</math> אזי <math>\frac{1}{a_n}\to 0</math>
+*טענה: תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>\frac{1}{|a_n|}\to\infty</math>
 <videoflash>U5RUHjrHVGI</videoflash>