הבדלים בין גרסאות בדף "חתכי דדקינד"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(הקדמה)
(הקדמה)
שורה 1: שורה 1:
 
==הקדמה==
 
==הקדמה==
  
*אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה <math>x^2=2</math>.
+
*אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה <math>x^2=2</math> (שורש שתיים).
  
 
*הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה <math>(1,1)</math> לראשית הצירים <math>(0,0)</math>?
 
*הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה <math>(1,1)</math> לראשית הצירים <math>(0,0)</math>?
שורה 18: שורה 18:
  
 
(נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].)
 
(נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].)
 +
 +
*ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
 +
 +
*כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה <math>\left\{x\in\mathbb{Q}| x<0 \vee x^2 <2\right\}</math>, זו הקרן באיור.
 +
 +
*הרעיון הזה של חיתוך ציר הריציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את '''חתכי דדקינד'''.
 +
 +
==חתכי דדקינד==
 +
 +
*'''הגדרה''': חתך דדקינד הוא קבוצה <math>A\subseteq\mathbb{Q}</math> המקיימת:
 +
**<math>A\neq\emptyset</math>
 +
**<math>A</math> חסומה מלעיל.
 +
**לכל <math>m\in\mathbb{Q}</math> מתקיים כי <math>m\notin A</math> אם ורק אם <math>m</math> חסם מלעיל של <math>A</math>
 +
 +
*הערות ותזכורות:
 +
**חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
 +
**בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
 +
**אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
 +
 +
 +
*הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
 +
*כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
 +
*עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר ב[[שדה]].
 +
*כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

גרסה מ־17:27, 4 בספטמבר 2020

הקדמה

  • אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה x^2=2 (שורש שתיים).
  • הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה (1,1) לראשית הצירים (0,0)?
  • האם ייתכן שהפרבולה y=x^2-2 עולה מהנקודה (0,-2) אל הנקודה (2,2) בלי לחתוך את ציר האיקס?
  • כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.



  • כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה y=x^2-2 עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

X^2-2.png

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

  • ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
  • כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה \left\{x\in\mathbb{Q}| x<0 \vee x^2 <2\right\}, זו הקרן באיור.
  • הרעיון הזה של חיתוך ציר הריציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

  • הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה A\subseteq\mathbb{Q} המקיימת:
    • A\neq\emptyset
    • A חסומה מלעיל.
    • לכל m\in\mathbb{Q} מתקיים כי m\notin A אם ורק אם m חסם מלעיל של A
  • הערות ותזכורות:
    • חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
    • בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
    • אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.


  • הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
  • כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
  • עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
  • כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.