הבדלים בין גרסאות בדף "חתכי דדקינד"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏חיבור)
שורה 56: שורה 56:
 
**יהי <math>a+b\in A+B</math>, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים <math>a<c\in A</math> וכן <math>b<d\in B</math> ולכן <math>a+b<c+d\in A+B</math> ו<math>a+b</math> אינו חסם מלעיל של <math>A+B</math>
 
**יהי <math>a+b\in A+B</math>, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים <math>a<c\in A</math> וכן <math>b<d\in B</math> ולכן <math>a+b<c+d\in A+B</math> ו<math>a+b</math> אינו חסם מלעיל של <math>A+B</math>
 
**יהי <math>m\in\mathbb{Q}</math> שאינו חסם מלעיל של <math>A+B</math>, לכן קיימים <math>m<a+b\in A+B</math>. כעת <math>m-a<b</math> כלומר <math>m-a</math> אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ <math>m=a+(m-a)\in A+B</math>.
 
**יהי <math>m\in\mathbb{Q}</math> שאינו חסם מלעיל של <math>A+B</math>, לכן קיימים <math>m<a+b\in A+B</math>. כעת <math>m-a<b</math> כלומר <math>m-a</math> אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ <math>m=a+(m-a)\in A+B</math>.
 +
 +
 +
====נגדי====
 +
*יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
 +
**<math>-A=\left\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\notin A:x<-m\right\}</math>
 +
 +
 +
*לדוגמא <math>-\left\{x\in\mathbb{Q}|x<2\right\}=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<-2\right\}</math>
 +
 +
 +
*הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
 +
**כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן <math>-A\neq\emptyset</math>

גרסה מ־18:36, 4 בספטמבר 2020

הקדמה

  • אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה x^2=2 (שורש שתיים).
  • הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה (1,1) לראשית הצירים (0,0)?
  • האם ייתכן שהפרבולה y=x^2-2 עולה מהנקודה (0,-2) אל הנקודה (2,2) בלי לחתוך את ציר האיקס?
  • כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.



  • כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה y=x^2-2 עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

X^2-2.png

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

  • ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
  • כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה \left\{x\in\mathbb{Q}| x<0 \vee x^2 <2\right\}, זו הקרן באיור.
  • הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

  • הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה A\subseteq\mathbb{Q} המקיימת:
    • A\neq\emptyset
    • A חסומה מלעיל.
    • לכל m\in\mathbb{Q} מתקיים כי m\notin A אם ורק אם m חסם מלעיל של A
  • הערות ותזכורות:
    • חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
    • בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
    • אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.


  • הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
  • כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
  • עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
  • כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

פעולות בין חתכי דדקינד

חיבור

  • יהיו שתי חתכים A,B, נגדיר את החיבור:
    • A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\}


  • החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
    • כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
    • סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
    • יהי a+b\in A+B, כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים a<c\in A וכן b<d\in B ולכן a+b<c+d\in A+B וa+b אינו חסם מלעיל של A+B
    • יהי m\in\mathbb{Q} שאינו חסם מלעיל של A+B, לכן קיימים m<a+b\in A+B. כעת m-a<b כלומר m-a אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ m=a+(m-a)\in A+B.


נגדי

  • יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
    • -A=\left\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\notin A:x<-m\right\}


  • לדוגמא -\left\{x\in\mathbb{Q}|x<2\right\}=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<-2\right\}


  • הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
    • כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן -A\neq\emptyset
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=חתכי_דדקינד&oldid=85739