חתכי דדקינד

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הקדמה

  • אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה x^2=2 (שורש שתיים).
  • הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה (1,1) לראשית הצירים (0,0)?
  • האם ייתכן שהפרבולה y=x^2-2 עולה מהנקודה (0,-2) אל הנקודה (2,2) בלי לחתוך את ציר האיקס?
  • כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.



  • כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה y=x^2-2 עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

X^2-2.png

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

  • ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
  • כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה \left\{x\in\mathbb{Q}| x<0 \vee x^2 <2\right\}, זו הקרן באיור.
  • הרעיון הזה של חיתוך ציר הריציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

  • הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה A\subseteq\mathbb{Q} המקיימת:
    • A\neq\emptyset
    • A חסומה מלעיל.
    • לכל m\in\mathbb{Q} מתקיים כי m\notin A אם ורק אם m חסם מלעיל של A
  • הערות ותזכורות:
    • חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
    • בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
    • אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.


  • הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
  • כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
  • עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
  • כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.