מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים

אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון

מבחן ההשוואה הראשון

יהי $a\in\R$ , ותהי נקודה $c\ge a$ כך שמתקיים $\forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge0$ .

אזי מתקיים:

$\int\limits_a^\infty g(x)dx$ מתכנס $\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad\Leftarrow\quad$ מתכנס

$\int\limits_a^\infty f(x)dx$ מתבדר $\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad\Leftarrow\quad$ מתבדר

דוגמא

קבע האם $\displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx$ מתכנס או מתבדר

פתרון

נשים לב כי $\arctan(x)$ היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

$\forall\ x>1:\arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0$ ולכן $\forall\ x>1:\frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0$

$\int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx=\frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac{dx}{x}$ מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

יהי $a\in\R$ , ותהיינה שתי פונקציות $f(x),g(x)$ כך ש: $\forall\ x\ge a:f(x),g(x)>0$

יהי הגבול $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L$

אזי:

אם $L>0,L\in\R$ אז $\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx$ ו- $\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx$ מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

אם $L=0$ אז $\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx$ מתכנס $\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad$ מתכנס.

אם $L=\infty$ אז $\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx$ מתכנס $\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad$ מתכנס.

דוגמאות

דוגמאות