שינויים

מרצה: ראובן כהן, reuven (@) math.biu.ac.il u.math.biu.ac.il/~reuven/ode.pdf 050-5217779 ----- == מבוא ==

'''הגדרות:''' ''הסדר של מד״ר'' הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. ''המעלה'' היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. דוגמאותנדגים:

* {{left|<math>\begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align}</math>}}

לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן <math>y'={\mathrm e}^{-x^2}</math> נקבל <math>y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx</math>, והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציה פוקנציית השגיאה <math>\mbox{erf}</math> שעבורה <math>y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c</math>.

'''הגדרה:''' ''צורה נורמלית'' של מד״ר היא <math>y^{(n)}=f(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})</math> כאשר <math>n</math> סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, <math>y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0</math>.

תהי ''הערה:'' <math>F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)equiv</math> פונקציה לינארית במשתנים <math>z_0מסמן שיוויון זהותי,\dots,z_n</math>כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אזי המד״ר המתאימה תקרא לינארית. לדוגמה: אם <math>f\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0equiv g</math>. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: אז בפרט <math>y^{f(nx)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+fg(x)</math>. אם , ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־<math>f(x)\equiv0</math> אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: <math>(y')^2+x^2+2=0equiv</math>שיוויון זהותי.

'''הגדרה:''' ''פתרון של מד״ר'' הוא פונקציה תהי <math>\varphiF(x,z_0,z_1,\dots,z_n)</math> כך שבהצבת פונקציה לינארית במשתנים <math>y=z_0,\varphi(x)dots,z_n</math> . אזי המד״ר הופכת לזהות המתאימה <math>F(x,\varphileft(x),\varphiy,y'(x),\dots,\varphiy^{(n)}(x\right))\equiv0=0</math>תקרא לינארית. דוגמה: <math>y=\varphisin(x)=y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0</math> היא פתרון של , למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: <math>xy'-2yy^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)</math> מפני שבהצבה . אם <math>y=\varphif(x)\equiv0</math> נקבל אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: <math>x(2xy')-2x^2+x^2+2=0</math>, מה שמתקיים תמיד.

'''הגדרה:''' ''פתרון של מד״ר'' הוא פונקציה <math>\varphi(x)</math> כך שבהצבת <math>y=\varphi(x)</math> המד״ר הופכת לזהות <math>F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x))\equiv0</math>. דוגמה: <math>\varphi(x)=x^2</math> היא פתרון של <math>xy'-2y=0</math> מפני שבהצבה <math>y=\varphi(x)</math> נקבל <math>x(2x)-2x^2=0</math>, מה שמתקיים תמיד. '''הגדרה:''' ''פתרון כללי של מד״ר'' הוא משפחת פונקציות <math>y=\varphi(x,c_1,\dots,c_n)</math> התלויות שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־<math>n</math> פרמטרים וגזירות וגזיר <math>n</math> פעמים לפי <math>x</math>. דוגמה:{{left|<math>\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}</math>}}{{משל}}

* # <math>xy'=x+y</math>* # <math>\begin{align}&y'=\frac yx\end{align}</math># <math>xy'=x+y, y'=\frac yx,y'+x^2y=0</math>. לגבי המשוואה האחרונה: }}מד״ר 2 שקולה ל־<math>y'\mathrm dx+x^2ydy=\frac yx\mathrm dx=0</math> ולכן ומד״ר 3 שקולה ל־<math>\mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0</math>. זו הצורה הדיפרנציאליתאלה הצורות הדיפרנציאליות. לגבי המשוואה השנייה: <math>\mathrm dy=\frac yx\mathrm dx</math>.}}

בכל הנוגע למד״ר מסדר ראשון, הבעיה היא למצוא פתרון למד״ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיים תנאי התחלה <math>y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0</math>.

'''=== פתרון רגולרי וסינגולרי==='''הגדרות:''' בהנתן פתרון כללי של מד״ר <math>y=\varphi(x,c)</math>, פתרון המתקבל ע״י הצבת <math>c=c_0</math> מסוים נקרא ''פתרון פרטי'', ''רגולרי '' או ''רגיל''. פתרון שאינו מתקבל מ־c מ־<math>c</math> מסוים נקרא ''פתרון סינגולרי או מיוחד. ''או 'דוגמה:'מיוחד'' . דוגמה: נתונה המד״ר <math>(y')^2=4y</math>. הפתרון הרגולרי הכללי הוא <math>y=(x+c)^2</math> לכל <math>c. לדוגמה </math>, כגון <math>y=(x+3)^2</math> הוא פתרון רגולרי, ו־. <math>y=0</math> פתרון סינגולרי.

=== משפט הקיום והיחידות ===נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט הקיום והיחידות. (את הגרסה המדוייקת המדויקת ואת ההוכחה נציג בשיעור הבאבהמשך). בהינתן מד״ר בצורה נורמלית <math>y'=f(x,y)</math>. אם הפונקציה <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ במשנתנה במשתנה <math>y</math> בסביבה מסויימת מסוימת של הנקודה <math>(x_0,y_0)</math> אזי קיימת סביבה שלה <math>D</math> שבה המד״ר למד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־<math>(x_0,y_0)</math> (כלומר מקיים <math>y(x_0)=y_0</math>).

'''תזכורת:''' <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ אם <math>\exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_0x_2|</math>.

'''==== דוגמה:''' ====נתון <math>2xy+y'=0</math>. אם אזי{|{{=|o= |r=\frac{y'}y=-2x |c=נניח <math>y\ne0not\equiv0</math> אז <math>:{{הפניה|ה-1|1}}}}{{=|o=\implies |r=\frac{y'\mathrm dx}y=-2x</math>. מכאן ש־<math>\mathrm dx }}{{=|o=\implies |r=\int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx</math> ולפיכך <math>}}{{=|o=\lnimplies |r=\ln\vert y|\vert=-x^2+c_1</math}}{{=|o=\implies |r=\vert y\vert=c_2{\mathrm e}^{-x^2},\quad c_2>. נסמן 0 |c=נציב <math>c_2:={\mathrm e}^{c_1}</math> ונקבל <math>:}}{{=|yo=\implies |r=c_2y=c{\mathrm e}^{-x^2}, \quad c\ne0 |c=נציב <math>c:=c_2\sgn(y)</math>:{{הפניה|ה-2|2}}}}|}[[#ה-1-ref|^]] {{עוגן|ה-1|''הערה 1:''}} הנחנו ש־<math>y\not\equiv0</math> וחילקנו ב־<math>y</math>, אבל מה אם יש נקודות בודדות שבהן <math>y=0</math> ולפיכך (עבור ? מקרה כזה אינו משנה לנו כיוון ש־<math>y</math> גזירה ובפרט רציפה, ולכן קיימים קטעים שבהם <math>y\ne0</math>. אנו יכולים לפתור את המד״ר בקטעים אלה ואז, הודות לרציפות, הפתרון ייתן את התוצאה הנכונה גם בנקודות שבהן <math>y=0</math>.{{פס|[[#ה-2-ref|^]] {{עוגן|ה-2|''הערה 2:''}} הגדרנו <math>c=c_2\sgn(y)</math>) , אך נשים לב ש־<math>y=c{</math> מוכרח להיות קבוע. במקרה זה הדרישה הזאת מתקיימת: <math>\mathrm e}^{-x^2}>0</math> לכל <math>x</math> ומכאן שלא קיימת נקודה שבה <math>y=0</math>. לפיכך, cמפני ש־<math>y</math> רציפה, <math>y</math> אינה מחליפה סימן באף קטע, כלומר <math>\ne0sgn(y)</math>קבוע. נשים לב שבפתרון התעלמנו מהמקרה כך נקבל שגם <math>c</math> קבוע, כדרוש.}}עתה נתייחס למקרה שבו <math>y=0\equiv0</math> . הצבה במד״ר תראה שזה פתרון ולבסוף הפתרון הסופי הכללי הוא <math>y=c{\mathrm e}^{-x^2}, \quad c\in\mathbb R</math>. מקרה {{משל}} נוכל להכליל את הדוגמה למקרה כללי: אם <math>y'=f(x)g(y)</math> אזי <math>\int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx</math>. ==== צורה כללית ==== הצורה הכללית של מד״ר מסדר ראשון עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>N_1(y_0)=0</math> עבור <math>y_0</math> כלשהו אזי <math>y(x)\equiv y_0</math> פותר את המד״ר. אם <math>M_2(x_0)=0</math> עבור <math>x_0</math> כלשהו אזי <math>x(y)\equiv x_0</math> פתרון (במובן כלשהו – רגולרי או סינגולרי). אם <math>N_1(y)M_2(x)\ne0</math> נחלק בהם ונקבל <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c</math>.

הצורה הכללית של מד״ר עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>N_1(y_0)=0</math> עבור <math>y_0</math> כלשהו אזי <math>y(x)=y_0</math> פותר את המד״ר. אם <math>M_2(x_0)=0</math> עבור <math>x_0</math> כלשהו אזי <math>x(y)=x_0</math> פתרון (במובן כלשהו). אם <math>N_1(y)M_2(x)\ne0</math> נחלק בהם ונקבל <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dyדוגמה ==c</math>. דוגמה: ===<math>x^2y^2y'=y-1</math>. בכתיב נמיר זאת לכתיב דיפרנציאלי ונקבל <math>x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0</math> פתרונות: . הפתרונות הם <math>y=1\ \or\ </math> או <math>x=0</math> או <math>\frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0</math>. לכן במקרה האחרון <math>-\frac1x=\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c=-\frac1x+cc_1</math>. לא נצליח לחלץ את <math>y</math>, אבל נוכל לחלץ את <math>x</math>: <math>x=\frac1{c-y^2/2-y-\ln|y-1|}</math>(כאשר <math>c=-c_1</math>).{{משל}}

נתונה מד״ר מהצורה <math>y'=f(ax+by)</math>. נגדיר <math>z=ax+by</math>, לכן <math>z'=a+by'</math> כלומר ולפיכך {{left|<math>f(\begin{align}&z)=y'=a+bf(z)\\\implies&\frac{z'-}{bf(z)+a}b</math> ולכן <math>=1\\\implies&\underbrace{\int\frac{z'\mathrm dz}{bf(z)+a}\mathrm dx}_{g(z)}=x+c\end{align}</math>. נסמן את אגף שמאל כ־<math>g(z)</math> ולכן }}לכן <math>g(ax+by)=x+Cc</math> ואם <math>g</math> הפיכה אזי <math>y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b</math>.

'''==== דוגמה:''' ====<math>y'=\frac{1-x+y}{x-y}</math>. אזי עבור <math>z=x-y</math> נקבל <math>{|{{=|o= |r=z'=1-y'=\frac{2z-1}z}}{{=|o=\implies |r=\frac{zz'}{2z-1}=1 |c=נניח </math>. לפיכך z\not\equiv\frac12</math>:}}{{=|o=\implies |r=\int\frac{zz'}z{2z-1}\mathrm dz=\int\mathrm dx}}{{=|o=\implies |r=\int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dxdz=x+c }}{{=|o=\implies |r=1</math>. מכאן ש־<math>\frac z2+\frac14\ln\left|\vert z-\frac12\right|\vert=x+c</math> ולבסוף: <math>}}{{=|o=\implies |r=\frac{x-y}2+\frac14\ln\left|\vert x-y-\frac12\right|\vert=x+c}}|}הצבת <math>z\equiv\frac12</math>נותנת <math>y'=\frac{1-\frac12}{1/2}=1</math> ולכן <math>y=x+\frac12</math> פתרון.{{משל}}

=== מד״ר הומוגנית = משפט ====פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת הומוגנית מסדר <math>k</math> אם לכל <math>\lambda>0</math> מתקיים ניתנת לכתיבה בצורה <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k fvarphi\left(x,y\frac yx\right)</math>לכל <math>x\ne0</math> אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.

דוגמאות:===== הוכחה =====* <math>\Longleftarrow</math>: <math>f(\lambda x,\lambda y)=\varphi\left(\frac{x-\lambda y}{\lambda x+y}</math> הומוגנית מסדר 0.* <math>\right)=\varphi\left(\frac yx\right)=f(x,y)=x^2+3y^2+8xy</math> הומוגנית מסדר 2.

<math>\implies</math>: נתון <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>. אם <math>x>0</math> נבחר <math>\lambda== משפט ===פונקציה \frac1x</math> ולכן <math>f(x,y)=f(\lambda x,\lambda y)=f\left(1,\frac yx\right)=\varphi_1\left(\frac yx\right)</math> ניתנת לכתיבה בצורה . במקרה <math>x<0</math> נציב <math>\lambda=-\frac1x</math>, ואז <math>f(x,y)=f\left(-1,-\frac yx\right)=\varphivarphi_2\left(\frac yx\right)</math> אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.{{משל}}

==== הוכחה מד״ר הומוגנית ====<math>\Longleftarrow</math>'''הגדרה: טריוויאלי.''' אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה <math>\implies</math>: נתון <math>f(\lambda x,\lambda y)'=f(x,y)</math>. נבחר <math>\lambda=\frac1x</math> (כאשר <math>x>0</math>) ולכן <math>f(\lambda x,\lambda y)=\underbrace{fg\left(1,\frac yx\right)}_{\varphi\left(\frac yx\right)}=f(x,y)</math>. במקרה <math>x<0</math> נציב <math>\lambda=-\frac1x</math>אזי היא נקראת ''הומוגנית''.

'''הגדרהניתן לפתור כל מד״ר הומוגנית באמצאות ההצבה <math>z=\frac yx</math>:מתקיים <math>g(z)=y'=(zx)'=z' x+z</math> ולכן אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה <math>y'z\not\equiv g(z)</math> אז{{left|<math>\begin{align}&g(z)-z=xz'\\\implies&\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x\end{align}</math>}}עבור <math>h(z)</math> המוגדרת כאגף שמאל, <math>h(z)=h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c</math>. במידה ו־<math>h</math> הפיכה <math>y=xh^{-1}(\ln|x|+c)</math> אזי היא נקראת הומוגנית.

'''דוגמה:''' <math>z(x)=\frac yx</math> לכן <math>y=zx\implies g(z)=y'=z'x+z</math>. אזי <math>\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}xתרגיל =====פתרו </math> ולפיכך, עבור <math>h(z)</math> המוגדרת כאגף שמאל, <math>h\left(\frac yx\right)xy'=\ln|x|+cy</math> ואז עם תנאי ההתחלה <math>y=xh^{-1}(\ln|x|+c3)=8</math> אם <math>h</math> הפיכה.

'''דוגמה:''' <math>xy'=x+y</math>. אם ===== פתרון ======בנקודות <math>x\ne0</math> נקבל <math>y'=1+\frac yx=1+z</math> ואז . בנוסף, {{left|<math>\begin{align}&y=zx\\\implies&y'=(zx)'=z'x+z\\\implies&z'x=z-(1</math>. לבסוף <math>+z)=1\\\implies&\int z'\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}x\\\implies&z=\ln|x|+c_1\\\implies&y=xz=x(\ln|x|+xc_1c_1)\end{align}</math>. }} נסמן <math>c={\mathrm e}^{c_1}</math> ולפיכך <math>y=x\ln(|cx)|,\quad c>0</math>. נתונים אם נציב את תנאי ההתחלה נקבל <math>8=y(3)=83\ln|c\cdot3|</math> אזי ולפיכן <math>c=\frac13 frac{\mathrm e^{8/3}}3</math>. לסיכום, <math>y=x\ln\left|\frac{\mathrm e^{8/3}}3x\right|</math>.{{משל}}