מטריצה אוניטרית
מתוך Math-Wiki
הגדרה
מטריצה נקראת אוניטרית אם כאשר
משפט
א. אוניטרית אם"ם אוניטרית.
ב. A אוניטרית אם"ם שורותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית אם"ם עמודותיה מהוות בסיס אורתונורמלי לפי המכפלה הפנימית הסטנדרטית
תרגילים
1
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים, יהי B בסיס אורתונורמלי ל V ויהי C בסיס נוסף ל-V.
הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.
2
תהי A מטריצה אוניטרית. הוכיחו כי כל הערכים העצמיים של A הם מאורך 1.
פתרון:
יהי z ע"ע של A. אזי קיים וקטור כך ש .
לכן
כעת, כיוון ש A אוניטרית מתקיים ולכן ביחד אנו מקבלים:
כיוון שהוקטור שונה מאפס, ניתן לחלק ב על מנת לקבל