הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/7"

גרסה אחרונה מ־13:01, 1 בספטמבר 2020

חזרה למערכי השיעור

אינדוקציה מתמטית

בהנתן סדרת טענות $P(n)$ , אנו מוכיחים לפי אינדוקציה כי כל הטענות נכונות אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

הטענה הראשונה נכונה (כלומר, עבור n=1)

כל טענה גוררת את הבאה אחריה. כלומר, לכל n אם נניח כי $P(n)$ נכון, נוכל להוכיח כי $P(n+1)$ נכון גם הוא

דוגמאות:

כמות הזוגות בקבוצה מגודל n

טבלאת שוקולד עם n קוביות

תרגילים - שיוויונים

$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2$

$(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}$

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$

$\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}$

נתבונן בסדרת פיבונאצ'י בה כל איבר שווה לסכום שני קודמיו $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ . הוכח כי $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\Big((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\Big)$

$1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)$

$\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$

$\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)=\frac{2n+1}{2n+2}$

תרגילים - אי שיוויונים

$3^n+4^n<5^n$ לכל $n\geq 3$

$(1+x)^n\geq 1+nx$ לכל $-1<x\in\mathbb{R}$

$\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}<\frac{2n}{5n+1}$

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}$

נניח $a_1=2$ וגם $a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$ . הוכח כי $a_n<3$

$1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}$

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}$

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1$

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 *כל טענה גוררת את הבאה אחריה. כלומר, לכל n אם נניח כי <math>P(n)</math> נכון, נוכל להוכיח כי <math>P(n+1)</math> נכון גם הוא
+דוגמאות:
-==תרגילים==
+כמות הזוגות בקבוצה מגודל n
+טבלאת שוקולד עם n קוביות
+==תרגילים - שיוויונים==
 *<math>1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}</math>
@@ שורה 21: / שורה 26: @@
-*<math>(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1}{6}</math>
+*<math>(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}</math>
+*<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}</math>
+*<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}</math>
+*נתבונן בסדרת פיבונאצ'י בה כל איבר שווה לסכום שני קודמיו <math>F_{n+2}=F_{n+1}+F_n</math>. הוכח כי <math>F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\Big((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\Big)</math>
+*<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)</math>
+*<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}</math>
+*<math>\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)=\frac{2n+1}{2n+2}</math>
+==תרגילים - אי שיוויונים==
+*<math>3^n+4^n<5^n</math> לכל <math>n\geq 3</math>
+*<math>(1+x)^n\geq 1+nx</math> לכל <math>-1<x\in\mathbb{R}</math>
+*<math>\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}<\frac{2n}{5n+1}</math>
+*<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math>
+*נניח <math>a_1=2</math> וגם <math>a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}</math>. הוכח כי <math>a_n<3</math>
+*<math>1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}</math>
+*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}</math>
+*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/7"

גרסה אחרונה מ־13:01, 1 בספטמבר 2020

אינדוקציה מתמטית

תרגילים - שיוויונים

תרגילים - אי שיוויונים

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים