הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/7"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(תרגילים - אי שיוויונים)
(תרגילים - אי שיוויונים)
 
שורה 52: שורה 52:
  
  
*<math>(1+x)^n\geq 1+nx</math>
+
*<math>(1+x)^n\geq 1+nx</math> לכל <math>-1<x\in\mathbb{R}</math>
  
  

גרסה אחרונה מ־13:01, 1 בספטמבר 2020

חזרה למערכי השיעור

אינדוקציה מתמטית

בהנתן סדרת טענות P(n), אנו מוכיחים לפי אינדוקציה כי כל הטענות נכונות אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

  • הטענה הראשונה נכונה (כלומר, עבור n=1)
  • כל טענה גוררת את הבאה אחריה. כלומר, לכל n אם נניח כי P(n) נכון, נוכל להוכיח כי P(n+1) נכון גם הוא

דוגמאות:

כמות הזוגות בקבוצה מגודל n

טבלאת שוקולד עם n קוביות

תרגילים - שיוויונים

  • 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}


  • 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}


  • 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2


  • (n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}


  • 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}


  • \frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}


  • נתבונן בסדרת פיבונאצ'י בה כל איבר שווה לסכום שני קודמיו F_{n+2}=F_{n+1}+F_n. הוכח כי F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\Big((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\Big)


  • 1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)


  • \frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}


  • \Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)=\frac{2n+1}{2n+2}


תרגילים - אי שיוויונים

  • 3^n+4^n<5^n לכל n\geq 3


  • (1+x)^n\geq 1+nx לכל -1<x\in\mathbb{R}


  • \frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}<\frac{2n}{5n+1}


  • \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}


  • נניח a_1=2 וגם a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}. הוכח כי a_n<3


  • 1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}


  • \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}


  • \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1