מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/7

חזרה למערכי השיעור

אינדוקציה מתמטית

בהנתן סדרת טענות $P(n)$, אנו מוכיחים לפי אינדוקציה כי כל הטענות נכונות אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

• הטענה הראשונה נכונה (כלומר, עבור n=1)

• כל טענה גוררת את הבאה אחריה. כלומר, לכל n אם נניח כי $P(n)$ נכון, נוכל להוכיח כי $P(n+1)$ נכון גם הוא

תרגילים

• $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

• $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

• $1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2$

• $(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}$

• $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$

• $\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}$

• נתבונן בסדרת פיבונאצ'י בה כל איבר שווה לסכום שני קודמיו $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. הוכח כי $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\Big((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\Big)$

• $1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)$