הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/מבחן דמה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏5)
(←‏1)
 
(9 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 +
==הוראות==
 +
 
פתרו כמה שיותר מן השאלות הבאות. פתרון נכון של שאלה מקנה 17 נקודות.
 
פתרו כמה שיותר מן השאלות הבאות. פתרון נכון של שאלה מקנה 17 נקודות.
  
שורה 15: שורה 17:
 
::<math>f\Big( g(x)\Big) + x > |x-1|</math>
 
::<math>f\Big( g(x)\Big) + x > |x-1|</math>
  
 +
 +
*[[מדיה:2020MehinaEx1Sol.pdf|פתרון לשאלה זו]]
  
 
==2==
 
==2==
שורה 29: שורה 33:
 
==3==
 
==3==
  
−
מצא את נקודת החיתוך של הישר המאונך למישור שמשוואתו <math>x-y+2z=3</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math>.
+
מצא את נקודת החיתוך בין הישר המאונך למישור שמשוואתו <math>x-y+2z=3</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math>, לבין המישור.
−
 
+
−
רמז: חיתוך של שני מישורים לא מקבילים הוא ישר, ולכן ישר במרחב מתואר על ידי חיתוך של שני מישורים.
+
−
 
+
  
 
==4==
 
==4==
−
הוכח כי לכל n מתקיים:
+
הוכח כי לכל <math>n\geq 2</math> מתקיים:
  
 
::<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math>
 
::<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math>
שורה 44: שורה 45:
  
  
−
::<math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math>
+
::<math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}\mathrm dx</math>
  
  
 
רמז: הציבו <math>t=(1+x)^{1/6}</math>
 
רמז: הציבו <math>t=(1+x)^{1/6}</math>
−
 
  
 
===ב===
 
===ב===
שורה 56: שורה 56:
  
 
==6==
 
==6==
 +
 +
'''הגדרה''': פונקציה f נקראת חד-חד-ערכית אם מתקיים עבורה התנאי הבא:
 +
 +
:<math>\forall x_1\in \mathbb{R}\forall x_2\in\mathbb{R}:\Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\rightarrow (x_1=x_2)</math>
 +
 +
===א===
 +
נסח תנאי שקול לכך ש f פונקציה ש'''אינה''' חד-חד-ערכית.
 +
 +
===ב===
 +
קבע עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות אם היא חד-חד-ערכית. הוכח את קביעתך:
 +
 +
*<math>f(x)=x^2</math>
 +
 +
*<math>g(x)=x+1</math>
 +
 +
*<math>h(x)=sin(x)</math>
 +
 +
==7==
 +
 +
===א===
 +
הוכח כי לכל שלוש קבוצות A,B,C מתקיים
 +
 +
::<math>A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math>
 +
 +
===ב===
 +
הוכח כי לכל ארבע קבוצות A,B,C,D מתקיים
 +
 +
::<math>(A\backslash B)\cap (C\backslash D)\subseteq (A\cap C)\backslash (B\cap D)</math>

גרסה אחרונה מ־14:01, 8 בספטמבר 2020

הוראות

פתרו כמה שיותר מן השאלות הבאות. פתרון נכון של שאלה מקנה 17 נקודות.

1

נגדיר שתי פונקציות


g(x)=\begin{cases}x & x>1 \\ 0 & x=1 \\ |x+1| & x<1\end{cases}


f(x)=\begin{cases}x^2 & x>2 \\ 0 & x=2 \\ g(x) & x<2\end{cases}


מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

f\Big( g(x)\Big) + x > |x-1|


2

א

מצא את כל הפתרונות למשוואה

z^4=2-2i


ב

הוכח כי \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}

3

מצא את נקודת החיתוך בין הישר המאונך למישור שמשוואתו x-y+2z=3 ועובר בנקודה (1,1,1), לבין המישור.

4

הוכח כי לכל n\geq 2 מתקיים:

\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}

5

א

פתרו את האינטגרל הבא


\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}\mathrm dx


רמז: הציבו t=(1+x)^{1/6}

ב

פתרו את האינטגרל הבא

\int ln(x)dx

6

הגדרה: פונקציה f נקראת חד-חד-ערכית אם מתקיים עבורה התנאי הבא:

\forall x_1\in \mathbb{R}\forall x_2\in\mathbb{R}:\Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\rightarrow (x_1=x_2)

א

נסח תנאי שקול לכך ש f פונקציה שאינה חד-חד-ערכית.

ב

קבע עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות אם היא חד-חד-ערכית. הוכח את קביעתך:

  • f(x)=x^2
  • g(x)=x+1
  • h(x)=sin(x)

7

א

הוכח כי לכל שלוש קבוצות A,B,C מתקיים

A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)

ב

הוכח כי לכל ארבע קבוצות A,B,C,D מתקיים

(A\backslash B)\cap (C\backslash D)\subseteq (A\cap C)\backslash (B\cap D)
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מכינה_למתמטיקה_קיץ_תשעב/מבחן_דמה&oldid=85755