מנרמל

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

המנרמל של תת-חבורה H בחבורה G הוא הקבוצה \ N_G(H) = \{g \in G: gHg^{-1} = H\}. זוהי תת-חבורה של G, המכילה את H.

המנרמל הוא תת-החבורה *הגדולה ביותר* של G שבתוכה H נורמלית. ביתר דיוק:

  • תהי G חבורה, ותהי H תת-חבורה שלה. לכל תת-חבורה \ H \subset S \subset G, \ H \vartriangleleft S אם ורק אם \ S \subseteq N_G(H). בפרט, \ H \vartriangleleft N_G(H).

כמובן, אם H נורמלית, אז המנרמל שלה הוא כל החבורה.

דקויות

תת-חבורה H היא נורמלית ב-G אם לכל \ g\in G מתקיים \ gHg^{-1} = H, והתנאי האחרון הוא זה המופיע בהגדרת המנרמל. כאן נחבאת נקודה מבלבלת. התנאי "לכל \ g\in G מתקיים \ gHg^{-1} \subseteq H", למרות שהוא א-פריורי חלש יותר, מגדיר נורמליות באותה מידה כמו התנאי הראשון. עם זאת, הקבוצה \ \{g \in G: gHg^{-1} \subseteq H\} אינה בהכרח שווה למנרמל: היא עשויה להכיל אותו ממש, ואף אינה חייבת להיות תת-חבורה של G (כמובן שאם G סופית אין הבדל בין שתי ההגדרות).

הצמדות

המנרמל סופר תת-חבורות צמודות, במובן הבא: לכל תת-חבורה H של חבורה G, מספר תת-החבורות הצמודות ל-H (ב-G) שווה לאינדקס \ [G:N_G(H)].

תהיינה G חבורה ו-H תת-חבורה. אז לכל \ g \in G מתקיים \ N_G(gHg^{-1}) = gN_G(H)g^{-1}.

תרגיל (89214, מבחן תשע"ב א'). לכל תת-חבורה H של חבורה G, המרכז \ C_G(H) הוא תת-חבורה נורמלית של המנרמל \ N_G(H).

הכללות

דגשים

  • הפונקציה \ H \mapsto N_G(H) המתאימה לתת-חבורה את המנרמל שלה, אינה מונוטונית כמו פונקציית המרכז. כלומר, מכך ש-\ H_1 \subseteq H_2 לא נובע א-פריורי שום יחס בין המנרמלים \ N_G(H_1), N_G(H_2).
  • המנרמל עצמו אינו חייב להיות נורמלי ב-G. לפיכך, גם לו יש מנרמל משלו, \ N_G(N_G(H)), וכן הלאה. (אם P היא תת-חבורת סילו, אז המנרמל שלה נורמלי בעצמו בלבד, כלומר \ N_G(N_G(P)) = N_G(P).