הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב ניצב"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏1)
(←‏1)
שורה 39: שורה 39:
  
 
לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math>
 
לכן סה"כ <math>V^\perp=\{0\}</math>
 +
 +
 +
ג.
 +
 +
נניח <math>w\in S_2^\perp</math> לכן לכל <math>s\in S_2</math> מתקיים <math><s,w>=0</math>.
 +
 +
לכן בפרט, לכל <math>s\in S_1</math> מתקיים <math>s\in S_2</math> ולכן <math><s,w>=0</math> ולכן <math>w\in S_1^\perp</math>
 +
 +
 +
ד.
 +
 +
כיוון ש <math>S\subseteq span(S)</math>, לפי סעיף קודם ברור כי <math>span(S)^\perp \subseteq S^\perp</math>.
 +
 +
כעת, אם <math>w\in S^\perp</math> אזי לכל צירוף לינארי <math>a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S)</math> מתקיים
 +
 +
::<math><a_1s_1+...+a_kS_k,w>=a_1<s_1,w>+...+a_k<s_k,w>=0</math>
 +
 +
כלומר <math>w\in span(S)^\perp</math> ולכן גם <math>span(S)^\perp \supseteq S^\perp</math>
  
 
===2===
 
===2===

גרסה מ־12:12, 25 בדצמבר 2012

הגדרה

יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים S\subseteq V. אזי הקבוצה


S^\perp :=\{v\in V|\forall s\in S:<v,s>=0\}


הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל S^\perp המרחב הניצב ל-S

תרגילים

משפט הפירוק הניצב

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי U\subseteq V תת מרחב הוכיחו כי U\oplus U^\perp = V

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:

א. \{0\}^\perp=V

ב. V^\perp = \{0\}

ג. אם S_1\subseteq S_2\subseteq V אזי S_2^\perp\subseteq S_1^\perp

ד. לכל קבוצה S\subseteq V מתקיים \Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp


פתרון:

א.

\{0\}^\perp = \{v\in V|<v,0>=0\}=V


ב.

V^\perp = \{w\in V|\forall v\in V:<w,v>=0\}

אם כך, נניח w\in V^\perp, כיוון w\in V מתקיים ביחד <w,w>=0 ולפי אי שליליות w=0

לכן סה"כ V^\perp=\{0\}


ג.

נניח w\in S_2^\perp לכן לכל s\in S_2 מתקיים <s,w>=0.

לכן בפרט, לכל s\in S_1 מתקיים s\in S_2 ולכן <s,w>=0 ולכן w\in S_1^\perp


ד.

כיוון ש S\subseteq span(S), לפי סעיף קודם ברור כי span(S)^\perp \subseteq S^\perp.

כעת, אם w\in S^\perp אזי לכל צירוף לינארי a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S) מתקיים

<a_1s_1+...+a_kS_k,w>=a_1<s_1,w>+...+a_k<s_k,w>=0

כלומר w\in span(S)^\perp ולכן גם span(S)^\perp \supseteq S^\perp

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו U,W\subseteq V תתי מרחבים. הוכיחו/הפריכו:

א. (U+W)^\perp=U^\perp+W^\perp

ב.(U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp

ג. (U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp

3

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו U,W\subseteq V תתי מרחבים כך ש U\oplus W = V. הוכיחו/הפריכו U^\perp = W

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מרחב_ניצב&oldid=30358