מרחב ניצב

הגדרה

יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים $S\subseteq V$. אזי הקבוצה

$S^\perp :=\{v\in V|\forall s\in S:<v,s>=0\}$

הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל $S^\perp$ המרחב הניצב ל-S

תרגילים

משפט הפירוק הניצב

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי $U\subseteq V$ תת מרחב הוכיחו כי $U\oplus U^\perp = V$

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:

א. $\{0\}^\perp=V$

ב. $V^\perp = \{0\}$

ג. אם $S_1\subseteq S_2\subseteq V$ אזי $S_2^\perp\subseteq S_1^\perp$

ד. לכל קבוצה $S\subseteq V$ מתקיים $\Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp$

פתרון:

א.

$\{0\}^\perp = \{v\in V|<v,0>=0\}=V$

ב.

$V^\perp = \{w\in V|\forall v\in V:<w,v>=0\}$

אם כך, נניח $w\in V^\perp$, כיוון $w\in V$ מתקיים ביחד $<w,w>=0$ ולפי אי שליליות $w=0$

לכן סה"כ $V^\perp=\{0\}$

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו $U,W\subseteq V$ תתי מרחבים. הוכיחו/הפריכו:

א. $(U+W)^\perp=U^\perp+W^\perp$

ב.$(U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp$

ג. $(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp$

3

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו $U,W\subseteq V$ תתי מרחבים כך ש $U\oplus W = V$. הוכיחו/הפריכו $U^\perp = W$