משפט ז'ורדן

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־14:50, 19 בנובמבר 2013 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (משפט ז'ורדן)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בלוק ז'ורדן

בלוק ז'ורדן הינו מטריצה ריבועית מהצורה

J_n(\lambda):=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots &\vdots \\\vdots & \ddots & \ddots &\lambda & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}


לדוגמא,

J_3(0)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, J_3(2)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

נזכר בסימון של סכום ישר של מטריצות, לדוגמא: J_1(2)\oplus J_2(0)\oplus J_2(2)= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

משפט ז'ורדן

תהי A מטריצה ריבועית, כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ג'ורדן. בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

תכונות של מטריצת ז'ורדן

תהי מטריצה A הניתנת לז'ירדון. אזי:

  • כמות בלוקי הז'ורדן בצורת הז'ורדן המתאימים לע"ע מסויים, היא הריבוי הגיאומטרי של אותו ע"ע.
  • גודל בולק הז'ורדן המקסימלי של ע"ע מסויים הוא החזקה של הגורם הלינארי המתאים לו בפולינום המינימלי.

דוגמא

מהן צורת הז'ורדן האפשריות עבור מטריצה בעלת פולינום אופייני f_A(x)=(x-1)^4(x-2)^3 ופולינום מינימלי m_A(x)=(x-1)^2(x-2)^3

תשובה

  • J_2(1)\oplus J_2(1) \oplus J_3(2)
  • J_2(1)\oplus J_1(1) \oplus J_1(1) \oplus J_3(2)

הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת

סיכום בנושא משפט ז'ורדן על ידי דר' בועז צבאן


סיכום הכללים, האלגוריתם ודוגמאות על ידי גיא בלשר - גיא

אלגוריתם לז'ירדון מטריצה

תהי A מטריצה כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים.


  • נמצא את הפולינום המינימלי של המטריצה A. נסמן את הערכים העצמיים של המטריצה ב \lambda_1,...,\lambda_n


  • עבור כל ע"ע \lambda נמצא בסיס מז'רדן עבור המרחב העצמי המוכלל K_\lambda באופן הבא:


  • נסמן ב k את החזקה של הגורם האי פריק (x-\lambda) בפולינום המינימלי


  • נמצא בסיס ל V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-1}) באופן הבא:


  • נביט במטריצה (A-\lambda I)^{k-1} ונבחר עמודות C_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}),...,C_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1}) המהוות בסיס למרחב העמודות C([A-\lambda I]^{k-1})


  • נפתור את מערכת המשוואות x_1(A-\lambda I)C_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}) + ... + x_p(A-\lambda I)C_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1})=0


  • לכל וקטור x=(x_1,...,x_n) בבסיס למרחב הפתרונות למערכת נסמן u_x=x_1e_{i_1}+...+x_pe_{i_p}. הערה: שימו לב כי תמיד מתקיים C_i(A)=Ae_i כאשר e_i הוקטור ה-i בבסיס הסטנדרטי.


  • עבור כל וקטור x בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף את כל הוקטורים במסלול (A-\lambda I)^{k-1}u_x, (A-\lambda I)^{k-2}u_x,...,(A-\lambda I)u_x,u_x לבסיס בסדר משמאל לימין.


  • באופן דומה נמצא בסיס עבור V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-2}) ונוסיף ממנו איברים לבסיס שמצאנו עד כה ובלבד שלא תיווצר תלות לינארית.


  • נמשיך בתהליך עבור V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-3}),...,V_\lambda עד שיהיו לנו וקטורים בבסיס כמספר הריבוי האלגברי של \lambda.


  • נאחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי בסיס B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה


  • נשים את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי J=P^{-1}AP הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.

דוגמאות

ז'ירדון של מטריצה ניליפוטנטית

מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}


  • ראשית, נחשב את הפולינום האופייני p_A(x)=x^5, כלומר זוהי מטריצה ניליפוטנטית
  • שנית, נמצא את הפולינום המינימלי m_A(x)=x^3, בפרט המטריצה ניליפוטנטית מסדר 3
  • כעת נמצא בסיס ל C(A^{3-1}) מהצורה A^2v_1,A^2v_2,...,A^2v_k באופן הבא:
    • נבחר עמודות של המטריצה A^2 המהוות בסיס ל- C(A^2)
    • כל עמודה i שבחרנו ניתן להציג כ- A^2e_i


A^2=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}


לכן בסיס למרחב העמודות הינו A^2e_1

  • כעת המסלול A^2e_1,Ae_1,e_1 הוא חלק של הבסיס המז'רדן משמאל לימין. שימו לב שסדר הוקטורים בבסיס המז'רדן חשוב מאד.


  • השלב הבא הוא להשלים את הבסיס שמצאנו (A^2e_1) לבסיס למרחב N(A)\cap C(A^{3-2})=N(A)\cap C(A) מהצורה Av_1,Av_2,...,Av_p באופן הבא:
    • נבחר בסיס u_1,...,u_r למרחב העמודות C(A)
    • נפתור את המערכת A(a_1u_1+...+a_ru_r) על מנת למצוא בסיס ל N(A)\cap C(A)
    • נשמיט וקטורים על מנת שלא תהא תלות לינארית בבסיס שבחרנו עד כה


בדוגמא שלנו, העמודה הראשונה, השנייה והחמישית מהוות בסיס למרחב העמודות של A:

u_1= (0,0,0,1,0)
u_2= (1,0,-1,0,0)
u_3= (-1,1,1,0,0)


כעת נפתור את המערכת a_1Au_1+a_2Au_2+a_3Au_3=0, זהו בדיוק מרחב האפס של המטריצה שעמודותיה הן Au_1,Au_2,Au_3:


N  \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1  \\
0 & 0 & 0  \\
-1 & 0 & -1  \\
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0  \\

\end{pmatrix}  = span\{(0,1,0),(-1,0,1)\}


כיוון שאלו המקדמים a_1,a_2,a_3 אנו מקבלים את בסיס ל N(A)\cap C(A):

\{u_2,u_3-u_1\}=\{Ae_2,A(e_5-e_1)\}


הערה: שימו לב שu3=Ae_5 כיוון שזו העמודה החמישית


כיוון ש Ae_2=A^2e_1 אנו משמטים איבר זה ונשארים עם A(e_5-e_1)


  • המסלול A(e_5-e_1),e_5-e_1 משלים לנו את הבסיס המז'רדן.


סיכום

הבסיס המז'רדן הינו

A^2e_1,Ae_1,e_1,A(e_5-e_1),e_5-e_1

נסמן בP את המטריצה שעמודותיה הן איברי הבסיס

P=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{pmatrix}


אזי (לא במפתיע) מתקיימת המשוואה הבאה:


P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix}

כלומר זו צורת הז'ורדן של המטריצה A.

ז'ירדון של מטריצה עם ע"ע יחיד

מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

A=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2.5 & 2 \\

\end{pmatrix}
  • ראשית נמצא את הפולינום האופייני p_A(x)=(x-2)^6, כלומר 2 הינו הערך העצמי היחיד
  • לפי משפט קיילי המילטון (A-2I)^6=0 ולכן A-2I ניליפוטנטית.
  • נמצא לה צורת ז'ורדן J=P^{-1}(A-2I)P = P^{-1}AP - P^{-1}2IP = P^{-1}AP-2I
  • לכן צורת הז'ורדן של המטריצה A הינה J+2I, כאשר הבסיס המז'רדן הוא אותו בסיס המז'רדן את A-2I.


A-2I=\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2.5 & 0 \\

\end{pmatrix}


  • כעת (A-2I)^2=0, לכן נמצא בסיס לC(A-2I)
  • העמודה הראשונה, השנייה והחמישית פורסות את מרחב העמודות של המטריצה ולכן הבסיס הינו (A-2I)e_1,(A-2I)e_2,(A-2I)e_5
  • בסיס זה מייצר שלושה מסלולים מאורך שתים, ולכן מצאנו מיד בסיס מז'רדן:
(A-2I)e_1,e_1,(A-2I)e_2,e_2,(A-2I)e_5,e_5


P=\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 &  2.5 & 0 \\

\end{pmatrix}


ושוב, הפלא ופלא, מתקיים:


P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\

\end{pmatrix}