==ממוצע אינטגרלי==
כיצד הייתם מגדירים את גובה המים הממוצע בבריכה הבאה?
===ניסוח מדוייק===
תהי f פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את '''הממוצע האינטגרלי''' של הפונקציה בקטע להיות
:<math>\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}</math>
==משפט ערך הממוצע האינטגרלי==
תהי f פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> עבורה
:<math>f(c)=\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}</math>
באנלוגיה שלנו, זה אומר שגובה הבריכה הממוצע חייב להיות גובה פני המים בנקודה כלשהי בבריכה.
===הוכחה===לפי [[חדוא 1 - ארז שיינר#משפטי ויירשטראס|משפט ווירשטראס]] הפונקציה f מקבלת מקסימום M ומינימום m בקטע. כלומר, לכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים כי <math>m\leq f(x)\leq M</math>. לכן :<math>m(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)</math> ומכאן :<math>m\leq \frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}\leq M</math> כלומר הממוצע האינטגרלי הוא ערך בין הגובה המינימלי של הפונקציה לגובה המקסימלי שלה בקטע. לסיום, לפי [[חדוא 1 - ארז שיינר#משפט ערך הביניים|משפט ערך הביניים]] נובע כי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}</math>