משפט פרמה (אינפי)

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הגדרת נקודת קיצון מקומית

תהי f מוגדרת בסביבת הנקודה x_0 כך שלכל x בסביבה מתקיים:

\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0) (נקודת מקסימום מקומי)

או

\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0) (נקודת מינימום מקומי)

אזי x_0 הנה נקודת קיצון מקומית של f .

משפט פרמה

תהי x_0 נקודת קיצון מקומית של פונקציה f . אזי אם f גזירה ב- x_0 מתקיים:

f'(x_0)=0

הוכחה

נניח כי f גזירה בנקודת מקסימום מקומי x_0 (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L

לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.

לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של x_0 בה מתקיים f(x)-f(x_0)\le 0 , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם x-x_0>0 .

לכן ביחד, מתקיים כי

L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0

באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של x_0 בה מתקיים f(x)-f(x_0)\le 0 , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם x-x_0<0 .

לכן ביחד, מתקיים כי

L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0

סה"כ L=0 כפי שרצינו. \blacksquare

ראו גם