הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏אינטגרל לא אמיתי, סוג II)
(←‏דוגמאות)
 
(7 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
{{הערה|את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}
+
{{המשך הגיע|תיאור=משפט 10|תאריך=12.4.11}}
  
 
=אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}=
 
=אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}=
−
'''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math>. כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
+
'''תזכורת:''' עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג <math>\int\limits_a^\infty f</math>. כמובן שיש מקבילה גמורה לאינטגרלים האלה: <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math>, ושאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.
  
 
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>[a,b]</math>. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\mathbb R</math> אז היא אינטגרבילית מקומית.
 
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי <math>[a,b]</math>. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-<math>\mathbb R</math> אז היא אינטגרבילית מקומית.
שורה 8: שורה 8:
 
'''תזכורת:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
 
'''תזכורת:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> להיות <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f</math> מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר <math>b>a</math> ונבדוק את שתי הטענות הבאות:
 
* שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים.
 
* שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f</math> מתכנסים.
−
*: עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
+
*: עפ"י משפט 2, <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס. באותו אופן <math>\int\limits_{-\infty}^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_{-\infty}^a f</math> מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
−
* נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> אז הם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>.
+
* נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים <math>\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> מתכנסים אז הם שווים ל-<math>\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f</math>.
−
*: ובכן עפ"י משפט 2 <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
+
*: ובכן עפ"י משפט 2, <math>\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f</math>. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.
  
 
=אינטגרל לא אמיתי, סוג II=
 
=אינטגרל לא אמיתי, סוג II=
שורה 18: שורה 18:
 
==דוגמאות==
 
==דוגמאות==
 
# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>.
 
# נקח <math>p>0</math> ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}</math>. עבור <math>p=1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty</math> והאינטגרל מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}</math>.
−
# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math> כלומר מתכנס.
+
# <math>\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> וכן <math>\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x</math> לקבל <math>\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}</math>, ובפרט מתכנס.
−
# דרך כתיבה מקוצרת: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2</math>.
+
# דרך כתיבה מקוצרת: <math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2</math>.
 +
 
  
 
----
 
----
 +
  
 
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
 
לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
 +
 +
'''הנחה קבועה:''' למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-<math>(a,b]</math>.
  
 
==משפט 1==
 
==משפט 1==
שורה 29: שורה 33:
 
==משפט 2==
 
==משפט 2==
 
עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.
 
עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.
 +
 
==משפט 3==
 
==משפט 3==
−
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math> אזי <math>\lim_{x\to a^+} f(x)</math> קיים אם"ם f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>.
+
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>(a,b]</math>. אזי <math>\lim_{x\to a^+} f(x)</math> קיים אם"ם f חסומה בקטע <math>(a,b]</math>.
−
===מסקנה===
+
 
−
עבור f אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> כך ש-<math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.
+
==משפט 4==
−
==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}==
+
אם <math>f(x)\ge0</math> אז האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.
−
נניח שב-<math>(a,b]</math> הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן <math>0\le f(x)\le g(x)</math>.
+
 
 +
==משפט 5 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}==
 +
נניח שב-<math>(a,b]</math> מתקיים <math>0\le f(x)\le g(x)</math>.
 
* אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
 
* אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
 
* אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר.
 
* אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר.
 +
 +
{{המשך סיכום|תאריך=3.5.11}}
 +
 +
==משפט 6 {{הערה|(מבחן ההשוואה הגבולי)}}==
 +
נניח ש-<math>f(x),g(x)\ge0</math> ונניח שקיים ממש <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
 +
===מסקנה===
 +
אם בפרט <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}>0</math> אז <math>\int\limits_a^b g,\int\limits_a^b f</math> מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
 +
 +
==משפט 7==
 +
האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי: <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>
 +
 +
==משפט 8==
 +
אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס בהחלט אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
 +
 +
 +
----
 +
 +
 +
באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה <math>[a,b)</math> (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים <math>\int\limits_a^b f:=\lim_{R\to b^-}\int\limits_a^R f</math>). כמו כן, אם f מוגדרת ב-<math>(a,b)</math> ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדירים <math>\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> עבור <math>c\in(a,b)</math> כלשהו ונאמר ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_a^c f,\int\limits_c^b f</math> מתכנסים.
 +
 +
אם f מוגדרת ב-<math>[a,b]</math> למעט איזו נקודת בייניים <math>c\in(a,b)</math> שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.

גרסה אחרונה מ־11:04, 6 באפריל 2016

את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)

תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג \int\limits_a^\infty f. כמובן שיש מקבילה גמורה לאינטגרלים האלה: \int\limits_{-\infty}^b f, ושאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בכל \mathbb R. נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי [a,b]. למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-\mathbb R אז היא אינטגרבילית מקומית.

תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו \int\limits_{-\infty}^\infty f להיות \int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש-\int\limits_{-\infty}^\infty f מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר b>a ונבדוק את שתי הטענות הבאות:

  • שני האינטגרלים \int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים \int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f מתכנסים.
    עפ"י משפט 2, \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם \int\limits_b^\infty f מתכנס. באותו אופן \int\limits_{-\infty}^b f מתכנס אם"ם \int\limits_{-\infty}^a f מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
  • נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים \int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f מתכנסים אז הם שווים ל-\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f.
    ובכן עפ"י משפט 2, \int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f וגם \int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f. נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.

אינטגרל לא אמיתי, סוג II

מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע (a,b]. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש-a<c<b f אינטגרבילית בקטע [c,b] (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב-(a,b]). לכן נגדיר \int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל \int\limits_a^b f מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע (a,b]. אם אין גבול אומרים ש-\int\limits_a^b f מתבדר.

דוגמאות

  1. נקח p>0 ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}. עבור p=1 נקבל \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty והאינטגרל מתבדר. עבור p\ne1 נקבל \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}.
  2. \int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}. נציב y=\ln(x) וכן \mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x לקבל \lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}, ובפרט מתכנס.
  3. דרך כתיבה מקוצרת: \int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2.



לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.

הנחה קבועה: למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-(a,b].

משפט 1

אם f ו-g אינטגרביליות ב-(a,b] ואם c קבוע אז f+cg אינטגרבילית בקטע (a,b] ומתקיים \int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g.

משפט 2

עבור a<c<b f אינטגרבילית בקטע (a,b] אם"ם היא אינטגרבילית בקטע (a,c] ואם כן \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f.

משפט 3

תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע (a,b]. אזי \lim_{x\to a^+} f(x) קיים אם"ם f חסומה בקטע (a,b].

משפט 4

אם f(x)\ge0 אז האינטגרל \int\limits_a^b f מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_c^b f חסומים כאשר c\to a^+.

משפט 5 (מבחן ההשוואה)

נניח שב-(a,b] מתקיים 0\le f(x)\le g(x).

  • אם \int\limits_a^b g מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.
  • אם \int\limits_a^b f מתבדר אז \int\limits_a^b g מתבדר.

את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:

משפט 6 (מבחן ההשוואה הגבולי)

נניח ש-f(x),g(x)\ge0 ונניח שקיים ממש \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}. אם \int\limits_a^b g מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.

מסקנה

אם בפרט \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}>0 אז \int\limits_a^b g,\int\limits_a^b f מתכנסים ומתבדרים יחדיו.

משפט 7

האינטגרל \int\limits_a^b f מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי: \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon

משפט 8

אם \int\limits_a^b f מתכנס בהחלט אז \int\limits_a^b f מתכנס.



באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה [a,b) (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים \int\limits_a^b f:=\lim_{R\to b^-}\int\limits_a^R f). כמו כן, אם f מוגדרת ב-(a,b) ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדירים \int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f עבור c\in(a,b) כלשהו ונאמר ש-\int\limits_a^b f מתכנס אם"ם שני האינטגרלים \int\limits_a^c f,\int\limits_c^b f מתכנסים.

אם f מוגדרת ב-[a,b] למעט איזו נקודת בייניים c\in(a,b) שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר \int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_הרצאה/1.5.11&oldid=66175