משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נושא ראשון:
אינטגרציה

הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.

דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף

הגרף של y=x^2 והמלבנים החוסמים (עם גבול ירוק) והחסומים (בצבע כחול).

נתון הגרף של y=x^2 ונרצה לחשב את השטח שמתחת לו בקטע [0,1]. נחלק את הקטע:

0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1

כך שבאופן כללי x_k=k/n (בגרף מוצג המקרה הפרטי n=4).

מעל כל תת קטע [x_{k-1},x_k] נבנה "מלבן חוסם" שגובהו \left({k\over n}\right)^2=x_k^2. שטח כל המלבנים הללו הוא "שטח חוסם"
\overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}
כמו כן, מעל כל תת קטע [x_{k-1},x_k] נבנה "מלבן חסום" שגובהו \left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2. ביחד מלבנים אלה מהווים "שטח חסום"
\underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}

כעת, אם A מציין את השטח שמתחת לגרף, בוודאי ש-\underline S\le A\le\overline S, ז"א \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\le A\le\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}. הדבר נכון לכל n\in\mathbb N ולכן נוכל להשאיף את n\to\infty ולקבל \frac13\le A\le\frac13, לכן A=\frac13. \blacksquare




הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F קדומה ל-f ב-I אם \forall x\in I:\ F'(x)=f(x).

דוגמה: אם f(x)=x^2 אז F(x)=\frac{x^3}3.

משפט 0

אם F ו-G קדומות ל-f בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-F(x)=G(x)+c

הוכחה

נגדיר H(x)=F(x)-G(x) ולכן \forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0. מכאן ש-H היא פונקציה קבועה ולכן יש קבוע c כך ש-F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c. \blacksquare


הגדרה אינטואיטיבית: תהי f(x)\ge0 רציפה בקטע [a,b]. נסמן ב-\int\limits_a^b f את השטח שמתחת לגרף.

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)

תהי f(x)\ge0 מוגדרת ורציפה ב-[a,b].

  1. לכל x\in[a,b] נגדיר A(x)=\int\limits_a^x f אזי \forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x).
  2. אם F קדומה ל-f ב-[a,b] אז \int\limits_a^b f=F(b)-F(a).

הוכחה

הוכחה אינטואיטיבית למשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי.png
  1. יהי x נתון. לפי ההגדרה A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}. בגרף: =A(x+\Delta x)-A(x) השטח של החלק הירוק ו-=\Delta x בסיס החלק הירוק. לפיכך =\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x} הגובה הממוצע של הפונקציה בחלק הירוק. לכן =A'(x) הגובה הממוצע של החלק הירוק (כאשר \Delta x\to0) f(x)=. \blacksquare
  2. נתונה פונקציה קדומה F. מחלק 1 ידוע גם ש-A פונקציה קדומה (של f). לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-F(x)=A(x)+c ולכן F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f. \blacksquare

האינטגרל לפי דרבו

הקדמה - הגדרות

הגדרת הערכים באינטגרל לפי דרבו.png

תהי f מוגדרת וחסומה ע"י m:=\inf f ו- M:=\sup f בקטע [a,b]. נגדיר את התנודה של f ע"י \Omega:=M-m. כעת נגדיר חלוקה P של [a,b] כקבוצה \{x_0,x_1,\dots,x_n\} המקיימת: a=x_0<x_1<\dots<x_n=b. עוד נגדיר לכל k את אורך תת קטע מספר k להיות \Delta x_k:=x_k-x_{k-1} ואת הפרמטר של P להיות \lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k.

לכל k כך ש-1\le k\le n נגדיר גם M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\} וכן m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}. בהתאם לכך נגדיר:

  • שטח חוסם - הסכום העליון: \overline S(f,P):=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k
  • שטח חסום - הסכום התחתון: \underline S(f,P):=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k

משפט 1

בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a).

הוכחה

=\sum_{k=1}^n\Delta x_k סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה b-a=, לכן: \sum_{k=1}^n m\Delta x_k = m(b-a)
לכל k מתקיים m\le m_k. \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P) \le
\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P) \le
\sum_{k=1}^n M\Delta x_k \le
M(b-a) =

\blacksquare

נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים \overline S(f,P),\underline S(f,P) חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" \overline{\int}_a^b f:=\inf_P \overline S(f,P) ו"האינטגרל התחתון" \underline\int_a^b f:=\sup_P \underline S(f,P).

הגדרת האינטגרל לפי דרבו

תהי f מוגדרת וחסומה ב-[a,b]. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-[a,b] אם \underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f ואם הם שווים אז נגדיר \int\limits_a^b f להיות הערך המשותף של \underline\int f ו-\overline{\int} f.

דוגמה

בקטע [a,b] כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}. נקח חלוקה כלשהי ל-[a,b]: a=x_0<x_1<\dots<x_n=b.

לכל k מתקיים M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1 וכן m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0. לכן \overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a ואילו \underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0. מכאן \underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0 ו-\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a, וכייוון שאינם שווים f אינה אינטגרבילית. \blacksquare




הגדרה: תהי P חלוקה של קטע [a,b]. חלוקה Q של [a,b] נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

משפט 2

תהי f מוגדרת וחסומה ב-[a,b], תהי P חלוקה של [a,b] ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אזי

0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega

0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega

(נזכיר ש-\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k ו-\Omega=\sup_{x\in[a,b]} f(x)-\inf_{x\in[a,b]} f(x))

כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-r\lambda(P)\Omega.

הוכחה

מקרה ראשון: r=1. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת x_i' כך ש-x_{i-1}<x_i'<x_i עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\} ו-M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}. כמו כן, לא שינינו כל תת קטע [x_{k-1},x_k] עבור k\not=i כלשהו. לכן \overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big)

לפי ההגדרות M_i\ge M_i^+,M_i^- ולפיכך
\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}

את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:

כמו כן,

\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\le M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\underbrace{r}_{=1}\lambda(P)\Omega\end{align}

מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר \Omega\lambda(P) בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\Omega\lambda(P).

ההוכחה לסכום תחתון דומה. \blacksquare

מסקנה 1

נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של [a,b]. אזי \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q).

הוכחה

נבנה עידון משותף, ז"א R=P\cup Q. לפי משפט 2 מתקיים \underline S(f,P)\le\underline S(f,R)\le \overline S(f,R)\le\overline S(f,Q). \blacksquare

מסקנה 2

עבור f כנ"ל מתקיים \underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f.

הוכחה

מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של [a,b] מתקיים \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q) ולכן \sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q). כמו כן, לפי ההגדרה \underline\int_a^b f=\sup_Q\underline S(f,Q) ו-\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f. \blacksquare