משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11

טורי חזקות (המשך)

משפט 2

יהי $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ טור חזקות שרדיוס ההתכנסות שלו הוא R. אם קיים $\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=S$ במובן הרחב אז $S=R$.

הוכחה

יהי x כרצוננו ונוכיח שאם $|x-x_0|<S$ אז הטור מתכנס בהחלט, ואם $|x-x_0|>S$ אז הוא מתבדר. נסמן את איברי הטור כ-$b_n=a_n(x-x_0)^n$ ולכן אם $|x-x_0|<S$ אזי $\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|\cdot|x-x_0|^{n+1}}{|a_n|\cdot|x-x_0|^n}=\frac{|x-x_0|}S<1$ ואם $|x-x_0|>S$ אזי $\lim_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=\frac{|x-x_0|}S>1$. ממבחן המנה של דאלמבר נסיק שהטור מתכנס בהחלט אם $|x-x_0|<S$ (ולכן $S\le R$) ואינו מתכנס בהחלט אם $|x-x_0|>S$ (ולכן $S\ge R$). מכאן ש-$R=S$. $\blacksquare$

דוגמאות

בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}(x-5)^n$. אם קיים הגבול הבא אז הוא שווה לרדיוס ההתכנסות:
   $\begin{align}R&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!/n^n}{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}\cdot\frac{(n+1)^n(n+1)}{n^n}\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^n\\&=e\end{align}$
   $\blacksquare$
2. $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+3}}{n^3}(x-5)^{2n}$. דרך ראשונה: נעשה זאת לפי מבחן המנה: $\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+3}/n^3}{2^{n+4}/(n+1)^3}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^3\cdot\frac12=\frac12$, אבל קיבלנו תוצאה שגויה - זה לא רדיוס ההתכנסות כי חישבנו $\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{2n}|}{|a_{2n+2}|}$ במקום $\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$. עם זאת, נשים לב שאם נציב $y=(x-5)^2$ אז חישבנו את רדיוס ההתכנסות של $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+3}}{n^3}y^n$. מכאן שהטור מתכנס כאשר $|x-5|^2=|y-0|<\frac12$, כלומר כאשר $|x-5|<\sqrt\frac12$, ולכן הוא $R=\sqrt\frac12$. $\blacksquare$ דרך שנייה: נחשב בעזרת מבחן השורש: $R=1/\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n}$. גם כאן יש מכשול כי $a_{2n}=\frac{2^{n+3}}{n^3}$ ואילו $a_{2n+1}=0$. לגבי האינדקסים האי-זוגיים $\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n+1]{a_{2n+1}}=0$ ולגבי הזוגיים $\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n]{a_{2n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[2n]{2^{n+3}}}{\sqrt[2n]{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac12+\frac3{2n}}}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{3/2}}=\frac{2^\frac12}1=\sqrt2$. לכן $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\sqrt2$ ולפיכך $R=\frac1\sqrt2=\sqrt\frac12$. $\blacksquare$
3. $\sum_{n=0}^\infty (-1)^nn!x^n$. לפי מבחן המנה: $R=\lim_{n\to\infty}\frac{|n!|}{|(n+1)!|}=\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0$. $\blacksquare$ מכאן שהטור מתכנס רק עבור $x=0$.
4. דוגמה כללית של טור חזקות ניתנת ע"י טור טיילור. נניח ש-f מוגדרת וגזירה $\infty$ פעמים בסביבת $x_0$. לכל $N\in\mathbb N$ ניתן לכתוב $f(x)=P_N(x)+R_N(x)$, ולכן $\sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=P_N(x)=f(x)-R_N(x)$. אם עבור x מסויים $\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0$ אזי $f(x)=\lim_{N\to\infty}f(x)-R_N(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$, וטור זה יקרא "טור טיילור של f סביב $x_0$". עבור $x_0=0$ הטור יקרא "טור מקלורן של f", וכבר ראינו דוגמה לטור כזה: $e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$, שרדיוס ההתכנסות שלו הוא $\infty$: $R=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n!}{1/(n+1)!}=\infty$.

דוגמאות נוספות

1. נקח $f(x)=\sin(x)$ ו-$x_0=0$. נחשב טור טיילור (בפרט, טור מקלורן) ונקבל $\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, בתנאי ש-$R_N(x)\to0$. נוכיח שזה אכן מתקיים: $\lim_{N\to\infty}R_N(x)=\lim_{N\to\infty}\frac{\sin^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}$ לכל $x\in\mathbb R$, כאשר c בין 0 ל-x. אבל ידוע ש-$\sin^{(N+1)}(c)\in\{\pm\sin(c),\pm\cos(c)\}$ ולכן $|R_N(x)|\le\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}$. עתה יהי $x\in\mathbb R$ מסויים וניצור סדרה $\{a_N\}$ כך ש-$a_N=\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}$. נותר להוכיח ש-$a_N\to0$, ולכן מספיק להוכיח ש-$\sum_{N=0}^\infty a_N$ מתכנס. נעשה זאת באמצעות מבחן המנה של דאלמבר: $\lim_{N\to\infty}\frac{a_{N+1}}{a_N}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|^{N+2}/(N+2)!}{|x|^{N+1}/(N+1)!}=\lim_{N\to\infty}\frac{|x|}{N+2}=0$. $\blacksquare$
2. נגדיר $f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}$ ונוכיח ש-f גזירה $\infty$ פעמים ב-$\mathbb R$ וש-$\forall n\in\mathbb N:\ f^{(n)}(0)=0$.
   טענה 1: אם $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ פונקציה רציונלית אזי $\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=0$. הוכחה: קיים $m\in\mathbb N\cup\{0\}$ כך ש-$q(x)=x^m\cdot r(x)$ עבור פולינום r שמקיים $r(0)\ne0$. לפיכך, עבור $y=\frac1{x^2}$, $\lim_{x\to0}e^{-\frac1{x^2}}g(x)=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^m}=\frac{p(0)}{r(0)}\lim_{y\to\infty}\frac{e^{-y}}{\left(1/\sqrt y\right)^m}=\lim_{y\to\infty}\frac{y^{m/2}}{e^y}$, ואחרי הפעלת כלל לופיטל $\left\lceil\frac m2\right\rceil$ פעמים נקבל 0.
   טענה 2: לכל $n\in\mathbb N$ ולכל $x\in\mathbb R\setminus\{0\}$ מתקיים $f^{(n)}(x)=e^{-\frac1{x^2}}g_n(x)$ עבור פונקציה רציונלית $g_n$ כלשהי כך ש-$f^{(n)}(0)=0$. הוכחה: נוכיח באינדוקציה. עבור $n=1$: $f'(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}e^{-\frac1{x^2}}=\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=g_1(x)e^{-\frac1{x^2}}$ וכן $f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}x$, ולפי טענה 1 זה שווה ל-0. עתה נוכיח עבור $n+1$: $f^{(n+1)}(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}=e^{-\frac1{x^2}}\left(g_n'(x)+\frac2{x^3}g_n(x)\right)$. כמו כן $f^{(n+1)}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{g_n(x)e^{-\frac1{x^2}}-0}x$, ולפי טענה 1 זה שווה 0. $\blacksquare$ נובע מכך שטור מקלורן של f הוא $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum0$, שלא שווה ל-$f(x)$ לכל x מלבד 0.

משפט 3

יהי טור חזקות $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ בעל רדיוס התכנסות $R>0$. אזי:

1. בקטע $(x_0-R,x_0+R)$ מוגדרת פונקציה גבולית רציפה $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$.
2. בקטע זה הפונקציה הגבולית גזירה ומתקיים $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}$. לטור הגזור יש אותו רדיוס התכנסות R.
3. עבור $|x-x_0|<R$ מתקיים $\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}$, וגם לטור הזה רדיוס התכנסות R.

הוכחה

1. יהי $x\in(x_0-R,x_0+R)$ כרצונינו ונבחר r המקיים $|x-x_0|<r<R$. לפי משפט 1, סעיף 3, הטור מתכנס במ"ש ב-$[x_0-r,x_0+r]$. כמו כן, טור חזקות הוא סכום של פונקציות רציפות, ולכן f רציפה בקטע $[x_0-r,x_0+r]$ ובפרט בנקודה x. $\blacksquare$
2. הוכחנו בעבר כי ניתן לגזור טור איבר-איבר אם הוא מתכנס בנקודה אחת ואם הטור הגזור מתכנס במ"ש. התכנסות הטור נתונה בקטע $(x_0-R,x_0+R)$ והטור הגזור הוא $\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}$, לכן צריך רק להוכיח שהטור הגזור מתכנס במ"ש. תחילה נקבע את רדיוס ההתכנסות שלו: נסמן ב-S את רדיוס ההתכנסות של הטור הגזור ולכן $\frac1S=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{n|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]n\sqrt[n]{|a_n|}=\overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R$, כלומר $R=S$. נובע (לפי סעיף 1) שהטור הגזור מתכנס במ"ש ב-$(x_0-R,x_0+R)$ ולכן מתקיימים התנאים כדי להוכיח שהגזירה הנ"ל אכן היתה מוצדקת. $\blacksquare$

את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:

3. נבחר x מסויים בקטע $(x_0-R,x_0+R)$ ונסמן $r=|x-x_0|$. עפ"י משפט 1, סעיף 3, ידוע שהטור שלנו מתכנס במ"ש בקטע בין $x_0$ ל-x ולכן (לפי משפט 9 בפרק הקודם) מותר לבצע אינטגרציה איבר-איבר בקטע זה. כעת $\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_{x_0}^x a_n(t-x_0)^n\mathrm dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}$ ולכן נותר למצוא רדיוס התכנסות. במילא נגזרת הטור החדש היא הטור המקורי, ולכן (מסעיף 2) יש להם אותו רדיוס התכנסות. $\blacksquare$