משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11

...

הכללה: אם $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ ואם f אינטגרבילית ב-$[a,b]$ אז $\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f$. הוכחה באינדוקציה.

מוסכמות:

1. $\int\limits_a^a f=0$
2. אם $a<b$ ואם f אינטגרבילית ב-$[a,b]$ נרשום $\int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f$

עם מוסכמות אלה יתקיים: $\int\limits_a^c=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$. באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל: אם $c<a<b$ אז לפי משפט 8 $\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$. נבדוק: $\int\limits_a^c f=-\int\limits_a^c f\ \and\ \int\limits_b^c f=-\int\limits_c^b f$ ולכן $-\int\limits_b^c f=-\int\limits_a^c f+\int\limits_a^b f$, מה שנכון כי $\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f$.

משפט 9

תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה ב-$[a,b]$. עוד נניח ש-f רציפה ב-$(a,b]$. אזי f אינטגרבילית ב-$[a,b]$.

הוכחה

יהי $\varepsilon>0$ נתון. נגדיר $c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}$ גרף (1). לפי הנתון f רציפה ב-$[c,b]$. לכן נוכל לבחור חלוקה P של $[c,b]$ כך ש-$\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2$. כעת גדיר חלוקה Q של $[a,b]$ ע"י $Q=\{a\}\cup P$. עוד נגדיר $M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}$ וכן $m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}$. נובע ש-$\overline S(f,P)-underline S(f,P)=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2<\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2=\varepsilon$. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-$[a,b]$. $\blacksquare$

מסקנה 1

המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-$(a,b)$.

מסקנה 2

נניח ש-f חסומה ב-$[a,b]$ ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות $x_0,x_1,\dots,x_n$ כך ש-$a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ אזי f אינטגרבילית ב-$[a,b]$.

הוכחה

עבור כל k, f חסומה ב-$[x_{k-1},x_k]$ ורציפה ב-$(x_{k-1},x_k)$. לפי מסקנה 1 f אינטגרבילית ב-$[x_{k-1},x_k]$. נסתמך על מסקנה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-$[a,b]=\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k]$. $\blacksquare$

הגדרה: אומרים ש-$f(x)$ "רציפה למקוטעין" ב-$[a,b]$ אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון. גרף (2) נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-$[a,b]$ אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם $f(x)$ מוגדרת ומונוטונית למקוטעין ב-$[a,b]$ אך היא אינטגרבילית שם שם.

אינטגרביליות לפי רימן

נניח ש-$f(x)$ מוגדרת וחסומה ב-$[a,b]$. נבחר חלוקה P של $[a,b]$ $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$. עוד נבחר מספרים $c_k\in[x_{k-1},x_k]$ ונכנה ב-P' את התת חלוקה $a\le c_0<c_1<\dots<c_n\le b$. ז"א $a=x_0\le c_0\le x_1\le c_1\le\dots\le c_n\le x_n=b$. בהתאם לכן נבנה סכום רימן $S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k$ כאשר לכל k מתקיים $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$. גרף (3) $S(f,P,P')$ מקרב את השטח שמתחת לגרף, ולא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לשטח שמתחת לגרף.

נעיר שעל חלוקה אחת P של $[a,b]$ אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן $S(f,P,P')$. עם זאת יתקיים תמיד $\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)$. יתר על כן, $\underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P')$ ו-$\overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P')$.

ההגדרת רימן: תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה ב-$[a,b]$. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-$[a,b]$ אם כאשר $\lambda(P)\to0$ כל סכומי רימן $S(f,P,P')$ שואפים לגבול אחד, שיסומן $\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx$.

משפט 10

תהי f מוגדרת וחסומה ב-$[a,b]$. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז $\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx$ לפי רימן $\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=$ לפי דרבו.

הוכחה

תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של $[a,b]$: $\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)$. כעת נשאיף $\lambda(P)\to0$. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, $\overline S(f,P)\to\int\limits_a^b f$ וכן $\underline S(f,P)\to\int\limits_a^b f$ לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-$\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')$ קיים ושווה ל-$\int\limits_a^b f$. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים $\int\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')=\int\limits_a^b f$. לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים $\int\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')$. אם כן הוא גם שווה ל-$\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\int\limits_a^b f$. מצאנו $\int\limits_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f$. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם מצאנו: $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^b f$. $\blacksquare$

באופן דומה נסיק $\lim\limits_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} \inf_{P'} S(f,P,P')=\underline{\int}_a^b f$

משפט 11

נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:

1. $f+cg$ אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים $\int\limits_a^b\Big(f(x)+c g(x)\Big)\mathrm dx=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx$
2. אם $f(x)\le g(x)$ לכל $x\in[a,b]$ אז $\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\le\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx$ (מונוטוניות). בפרט אם $\forall x\in[a,b]:\ f(x)\le0$ אז $\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\le0$ (חיוביות)
3. $|f(x)|$ אינטגרבילית ומתקיים $\left|\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_a^b |f(x)|\mathrm dx$ ואם $|f(x)\le m$ ב-$[a,b]$ אז $\left|\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx\right|\le m(b-1)$
4. אם $f(x)=m$ (פונקציה קבועה) אז $\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx= m(b-1)$

...

$=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k$. נשאיף $\lambda(P)\to0$ כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א $\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx$. עצם קיום הגבול אומר ש-$f+cg$ אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק $\int\limits_a^b\Big(f(x)+cg(x)\Big)\mathrm dx\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx+c\int\limits_a^b g(x)\mathrm dx$