משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.4.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)

בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל המסויים והראנו שהטעות בחישוב בקטע [a,b] חסומה ע"י \max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|\frac{h^4(b-a)}{45} כאשר h המרחק בין שתי נקודות סמוכות בחלוקה שבחרנו. ניתן גישה אחרת למציאת הטעות, שהיא יותר קצרה ונותנת ערך יותר קטן לחסם של הטעות, אבל היא פחות אינטואיטיבית:

הראנו שמספיק לחשב בקירוב \int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big) כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big). G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) G(0)=0. עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי)
\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)-\frac h3\Big(-f'(-h)+f'(h)\Big)\end{align}

לכן \lim_{h\to0}G'(h)=f(0)+f(0)-\frac13\Big(f(0)+4f(0)+f(0)\Big)-0=2f(0)-\frac63f(0)=0. ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת G'(0) קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל \lim_{h\to0}G''(h)=0=G''(0). נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל G'''(0)=G^{(4)}(0)=0 וגם G^{(4)}(h)=-\frac13\Big(-f'''(-h)+f'''(h)\Big)-\frac h3\Big(f^{(4)}(-h)+f^{(4)}(h)\Big). עתה:

\frac{G(h)-G(0)}{h^5-0^5} = \frac{G(h)}{h^5}
לפי משפט קושי קיים h_1\in(0,h) עבורו: \frac{G'(h_1)}{5h_1^4} =
\frac{G'(h_1)-G'(0)}{5h_1^4-5\cdot0^4} =
קיים h_2\in(0,h_1) עבורו: \frac{G''(h_2)}{20h_2^3} =
קיים h_3\in(0,h_2) עבורו: \frac{G'''(h_3)}{60h_3^2} =
קיים h_4\in(0,h_3) עבורו: \frac{G^{(4)}(h_4)}{120h_4} =
כעת נגדיר M:=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|. לפי משפט לגראנז' קיים c\in(-h,h) כך ש-\frac{f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)}{2h}=f^{(4)}(c) ולכן \left|f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)\right|\le2hM. מכל זה נובע
\begin{align}\left|G^{(4)}(h_4)\right|&\le\left|-\frac13\Big(f^{(3)}(-h_4)+f^{(3)}(h_4)\Big)\right|+\left|\frac{h_4}3\Big(f^{(4)}(-h_4)+f^{(4)}(h_4)\Big)\right|\\&\le\frac{2h_4}3M+\frac{h_4}32M\\&=\frac43Mh_4\end{align}

עתה \left|\frac{G(h)}{h^5}\right|=\left|\frac{G^{(4)}(h_4)}{120h_4}\right|\le\frac1{120h_4}\frac43Mh_4=\frac M{90} וקיבלנו ש-|G(h)|\le\frac{Mh^5}{90}, כלומר הטעות בכל קטע מהסוג [x_{k-1},x_{k+1}] חסומה ע"י \frac{Mh^5}{90}. ב-[a,b] יש \frac n2=\frac{(b-a)}{2h} ולפיכך הטעות חסומה ע"י \frac{b-a}{2h}\cdot\frac{Mh^5}{90}=\frac{Mh^4}{180}(b-a). \blacksquare

דוגמה

נקרב \int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}x=\ln(2)\approx0.69314718. נבחר h=\frac14. נציב:

\begin{array}{l|l}\underline x&\underline{1/x}\\1&1\\1.25&4/5\\1.5&2/3\\1.75&4/7\\2&1/2\end{array}
  • הקירוב לפי סכום רימן הוא \sum_{k=0}^4f(x_k)h=\frac14\left(1+\frac45+\frac23+\frac47+\frac12\right)\approx\underline{0.6}34523809.
  • כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים:
    \frac{f(x_0)+f(x_4)}2h+h\sum_{k=1}^3f(x_k)=\frac18\left(1+\frac12\right)+\frac14\left(\frac45+\frac23+\frac47\right)\approx\underline{0.69}7023792
  • ולפי סימפסון:
    \begin{array}{l}\displaystyle\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\displaystyle\frac1{12}\left(1+4\tfrac45+2\tfrac23+4\tfrac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}
    נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון:
    f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}
    ולכן M=\max_{x\in[1,2]}\left|24x^{-5}\right|=24 והטעות R בקירוב מקיימת |R|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}

אינטגרל לא אמיתי, סוג I

עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי" (improper integral). אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג \int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f הם אינטגרלים לא אמיתיים מסוג 1.

הגדרה: תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג [a,\infty). נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית (locally integrable) בקטע זה אם לכל b>a f אינטגרבילית בקטע [a,b].

למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.

הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty). נגדיר \int\limits_a^\infty f:=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f. אם הגבול קיים נאמר שהאינטגרל מתכנס, אחרת הוא מתבדר.

אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה (-\infty,b] ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר \int\limits_{-\infty}^b f:=\lim_{R\to-\infty}\int\limits_R^b f.

עבור f מוגדרת בכל \mathbb R נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר \int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f עבור a\in\mathbb R כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.

דוגמאות

  1. \int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}. נחשב:
    \begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}
    ניתן גם לכתוב בקיצור: \int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1.
  2. \int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).
  3. שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף y=\frac1x סביב ציר ה-x ב-[1,\infty). האם יש מספיק צבע בעולם כדי לצבוע אותה מבפנים?
    פתרון: לכאורה התשובה היא לא, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא \pi\int\limits_1^\infty\frac2x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\mathrm dx>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\mathrm dx=\infty, כלומר אין מספיק צבע. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא \pi\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\pi, יספיקו לנו \pi יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.

שאלה: האם התכנסות האינטגרל \int\limits_1^\infty f גוררת ש-\lim_{x\to\infty} f(x)=0 (בדומה לטורים)?

תשובה: לא. נגדיר פונקציה f שהגרף שלה הוא גרף פונקצית משולשים.png

אזי
\int\limits_0^\infty f= השטח שמתחת לגרף =\lim_{n\to\infty}\frac12\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\dots+\frac1{2^n}\right)=\frac22=1

כלומר האינטגרל מתכנס, אבל \lim_{x\to\infty} f(x) לא קיים.