הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/10.4.11"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "=האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}}= הוכחנו בהרצאה שאם f גזירה ב-<math>(a,b)</math> ו-c נקודה כלשהי בקטע א...")
 
(האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}})
שורה 1: שורה 1:
 
=האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}}=
 
=האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}}=
הוכחנו בהרצאה שאם f גזירה ב-<math>(a,b)</math> ו-c נקודה כלשהי בקטע אז מתקיים <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\int\limits_c^x f=f(x)</math>.
+
הוכחנו בהרצאה שאם f גזירה ב-<math>(a,b)</math> ו-c נקודה כלשהי בקטע אז מתקיים <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int\limits_c^x f\mathrm{d}t=f(x)</math>.
 
==דוגמה 1==
 
==דוגמה 1==
 
גזור את הפונקציות הבאות:
 
גזור את הפונקציות הבאות:
שורה 11: שורה 11:
 
<math>\frac{\ln(t)}{t^2}</math> בוודאי גזירה בתחום. נסמן <math>y=x^3</math> ולכן <math>\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dy}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\ln(y)}{y^2}\cdot3x^2=\frac{\ln(x^3)}{x^6}\cdot3x^2=9\frac{\ln(x)}{x^4}</math>. {{משל}}
 
<math>\frac{\ln(t)}{t^2}</math> בוודאי גזירה בתחום. נסמן <math>y=x^3</math> ולכן <math>\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dy}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\ln(y)}{y^2}\cdot3x^2=\frac{\ln(x^3)}{x^6}\cdot3x^2=9\frac{\ln(x)}{x^4}</math>. {{משל}}
 
</li></ol>
 
</li></ol>
''הערה:'' במקרה של <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\int\limits_{g(x)}^{h(x)} f</math> נפרק את האינטגרל לסכום <math>\int\limits_c^{h(x)} f+\int\limits_{g(x)}^c f</math>.
+
''הערה:'' במקרה של <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int\limits_{g(x)}^{h(x)} f\mathrm{d}t</math> נפרק את האינטגרל לסכום <math>\int\limits_c^{h(x)} f\mathrm{d}t+\int\limits_{g(x)}^c f\mathrm{d}t</math>.
  
 
=אינטגרלים לא אמיתיים מסוג I=
 
=אינטגרלים לא אמיתיים מסוג I=

גרסה מ־14:16, 14 במאי 2015

האינטגרל המסויים (המשך)

הוכחנו בהרצאה שאם f גזירה ב-(a,b) ו-c נקודה כלשהי בקטע אז מתקיים \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int\limits_c^x f\mathrm{d}t=f(x).

דוגמה 1

גזור את הפונקציות הבאות:

  1. I(x)=\int\limits_1^x e^{t^2}\mathrm dt:

    פתרון

    ברור כי e^{t^2} פונקציה גזירה, ולכן \frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dx}=e^{t^2}.

  2. I(x)=\int\limits_1^{x^3}\frac{\ln(t)}{t^2}\mathrm dt:

    פתרון

    \frac{\ln(t)}{t^2} בוודאי גזירה בתחום. נסמן y=x^3 ולכן \frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dy}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\ln(y)}{y^2}\cdot3x^2=\frac{\ln(x^3)}{x^6}\cdot3x^2=9\frac{\ln(x)}{x^4}. \blacksquare

הערה: במקרה של \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int\limits_{g(x)}^{h(x)} f\mathrm{d}t נפרק את האינטגרל לסכום \int\limits_c^{h(x)} f\mathrm{d}t+\int\limits_{g(x)}^c f\mathrm{d}t.

אינטגרלים לא אמיתיים מסוג I

לפחות אחד מגבולות האינטגרציה אינסופי. נסמן \int\limits_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int\limits_a^b f ובאופן דומה \int\limits_{-\infty}^b f=\lim_{a\to-\infty}\int\limits_a^b f וכן \int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^c f+\int\limits_c^\infty f עבור c כך ששני האינטגרלים יהיו קיימים.

כלל ידוע: \int\limits_a^\infty\frac{\mathrm dx}{x^\alpha} מתכנס אם"ם \alpha>1.

דוגמה 2

חשבו את \int\limits_1^\infty\cos, אם קיים.

פתרון

\int=\lim_{b\to\infty}[\sin(x)]_{x=1}^b=\lim_{b\to\infty}\sin(b)-\sin(1)\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}, כלומר מתבדר.

דוגמה 3

חשבו את \int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\arctan(x)}{1+x^2}\mathrm dx.

פתרון

נציב y=\arctan(x) ולכן \mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{1+x^2}. מכאן נובע ש-
\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{\arctan(-R)}^{\arctan(0)} y\mathrm dy+\lim_{R\to\infty}\int\limits_{\arctan(0)}^{\arctan(R)} y\mathrm dy\\&=\left[\frac{y^2}2\right]_{y=-\frac\pi2}^0+\left[\frac{y^2}2\right]_{y=0}^\frac\pi2\\&=-\frac{\pi^2}8+\frac{\pi^2}8\\&=0\end{align}
\blacksquare

דוגמה 4

חשבו \int\limits_{-\infty}^\infty xe^x\mathrm dx.

פתרון

\int=\lim_{R\to\infty}\left[xe^x\right]_{x=-R}^R-\int\limits_{-R}^R e^x\mathrm dx=\lim_{R\to\infty}Re^R-\left(-Re^{-R}\right)-e^R+e^{-R}=\infty. \blacksquare

מבחני התכנסות

מבחן ההשוואה

0\le f(x)\le g(x) אזי אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.

דוגמה 5

קבעו התכנסות של \int\limits_1^\infty x^{-x}\mathrm dx.

פתרון

נבדוק מתי x^{-x}\le\frac1{x^2}: x^{-x+2}\le1\Longleftarrow x\ge2. לכן נרשום \int=\underbrace{\int\limits_1^2 x^{-x}\mathrm dx}_I+\underbrace{\int\limits_2^\infty x^{-x}\mathrm dx}_{II}. האינטגרל I בוודאי מתכנס, כי גבולות האינטגרציה סופיים והפונקציה רציפה בתחום. נותר להראות ש-II מתכנס: כפי שכבר הראנו, בתחום הזה x^{-x}\le\frac1{x^2} ולכן מספיק לבדוק התכנסות האינטגרל \int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}, שכידוע מתכנס. \blacksquare

דוגמה 6

קבעו התכנסות האינטגרל (האמיתי) \int\limits_0^1 x^{-x}\mathrm dx.

פתרון

ברור שפרט לנקודה 0 האינטגרנד מוגדר בקטע. נסתכל על הגבול כאשר x\to0^+: \lim_{x\to0^+} x^{-x}=\lim_{x\to0^+} e^{-x\ln(x)}=\lim_{x\to0^+}e^{-\frac{\ln(x)}{1/x}}=\lim_{x\to0^+}e^{-\frac{1/x}{-1/x^2}}=\lim_{x\to0^+}e^x=1. לכן נגדיר g(x)=\begin{cases}x^{-x}&0<x\le1\\1&x=0\end{cases}. פונקציה זו רציפה בקטע הסגור [0,1] ולכן ברור שהאינטגרל שלה בקטע מתכנס. מכיוון שהיא שונה מהאינטגרנד המקורי במספר סופי של נקודות גם \int\limits_0^1 x^{-x}\mathrm dx מתכנס. \blacksquare

דוגמה 7

קבעו התכנסות של \int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}x\mathrm dx.

פתרון

בקטע הנ"ל arctan היא פונקציה עולה. לכן אם נכוון להתבדרות נשים לב כי \frac\pi4=\arctan(1)\le\arctan(x) ולכן \frac\pi4\cdot\frac1x\frac{\arctan(x)}x. אבל \frac\pi4\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}x מתבדר ולכן כך גם האינטגרל הנתון. \blacksquare

מבחן ההשוואה הגבולי

נתון \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L כאשר f,g פונקציות אי-שליליות.

  • אם 0<L<\infty אז \int f ו-\int g מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
  • אם L=0 אז התכנסות \int g גוררת התכנסות \int f.
  • אם L=\infty אז התכנסות \int f גוררת התכנסות \int g.

דוגמה 8

קבעו התכנסות של \int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2}\mathrm dx.

פתרון

ידוע כי \int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2} מתכנס. הגבול \lim_{x\to\infty}\frac{\ \frac{\arctan(x)}{x^2}\ }\frac1{x^2}=\lim_{x\to\infty}\arctan(x)=\frac\pi2<\infty קיים ולכן \int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2}\mathrm dx מתכנס. \blacksquare