הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11"

גרסה מ־16:07, 20 בפברואר 2011

אינטגרבליות

מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על $\mathbb R$ ).

(1)

נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:

אינטגרבליות לפי דרבו
אינטגרבליות לפי רימן

היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.

אינטגרבליות לפי דרבו

תהי T חלוקה. נסמן $M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)$ ו- $m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)$ . נגדיר $\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i$ וכן $\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i$ .

$\overline I=\inf\{\overline S(T):\$ חלוקה $T\}$

$\underline I=\sup\{\underline S(T):\$ חלוקה $T\}$

$\overline I=\underline I$

דוגמה 1: הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה $g(x)=x$ מתחילה בקטע $[0,1]$ . נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.

פתרון:

דרך 1: חישוב ע"י משולש.

דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה $\Delta x\le\frac1n$ (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).

במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות $0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1$ . ז"א $\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}$ .

רוחב המלבן
אורך המלבן

(נשים לב כי $f(x)=x$ פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)

באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:

$\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n \frac i n$

...

אם נראה כי $\overline I=\underline I$ נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

עבור $\overline I$ נרשום: $\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=$ ...

באופן דומה $\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n}{2}=\frac12$

מסכנה: f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא $\tfrac12$ . הערה: נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת

ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה $\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I$

דוגמה 2: חשב את השטח שמתחת לעקום $y=9-x^2$ ומעל לקטע $[0,3]$ כאשר $x_k^\star$ פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

פתרון: תזכורת: חייבים $x_k^\star$ בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).

נחלק את הקטע $[0,3]$ , נבחר חלוקה המקיימת $\Delta x\to0$ . (לדוגמה: בחרנו חלוקה $\Delta x=\frac3n$ .

כאשר $k\in\{0,1,2,\dots\}$ מתקיים $\Delta x_k=\frac{3k}{n}$ ). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).

$\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-בדיקה
+== אינטגרבליות ==
+'''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>).
+(1)
+נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:
+# אינטגרבליות לפי דרבו
+# אינטגרבליות לפי רימן
+היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.
+=== אינטגרבליות לפי דרבו ===
+תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)</math>. נגדיר <math>\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן <math>\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.
+<math>\overline I=\inf\{\overline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
+<math>\underline I=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
+<math>\overline I=\underline I</math>
+'''דוגמה 1:''' הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה <math>g(x)=x</math> מתחילה בקטע <math>[0,1]</math>. נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.
+'''פתרון:'''
+''דרך 1:'' חישוב ע"י משולש.
+''דרך 2:'' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה <math>\Delta x\le\frac1n</math> (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).
+במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1</math>. ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.
+# רוחב המלבן
+# אורך המלבן
+(נשים לב כי <math>f(x)=x</math> פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)
+באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:
+<math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n \frac i n</math>
+...
+אם נראה כי <math>\overline I=\underline I</math> נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).
+עבור <math>\overline I</math> נרשום:
+<math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=</math>...
+באופן דומה <math>\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n}{2}=\frac12</math>
+'''מסכנה:''' f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>.
+'''הערה:''' נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת
+ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I</math>
+'''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
+'''פתרון:''' ''תזכורת:'' חייבים <math>x_k^\star</math> בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).
+נחלק את הקטע <math>[0,3]</math>, נבחר חלוקה המקיימת <math>\Delta x\to0</math>. (לדוגמה: בחרנו חלוקה <math>\Delta x=\frac3n</math>.
+כאשר <math>k\in\{0,1,2,\dots\}</math> מתקיים <math>\Delta x_k=\frac{3k}{n}</math>). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).
+<math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11"

גרסה מ־16:07, 20 בפברואר 2011

אינטגרבליות

אינטגרבליות לפי דרבו

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים