גרסה אחרונה מ־16:18, 2 במרץ 2011

נושא ראשון:
אינטגרביליות

מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על $\mathbb R$ ).

גרף (1)

נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:

אינטגרבליות לפי דרבו
אינטגרבליות לפי רימן

היום נדבר על הראשונה.

תוכן עניינים

1 אינטגרבליות לפי דרבו

אינטגרבליות לפי דרבו

נסמן $M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)$ ו- $m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)$ . לכל חלוקה T נגדיר $\overline S(T):=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i$ ו- $\underline S(T):=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i$ .

כמו כן נגדיר

$\overline I:=\inf\{\overline S(T):\$ חלוקה $T\}$

$\underline I:=\sup\{\underline S(T):\$ חלוקה $T\}$

אם $\overline I=\underline I$ אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.

דוגמה 1

הוכח עפ"י הגדרת האינטגרל שהפונקציה $f(x)=x$ אינטגרבילית בקטע $[0,1]$ ומצא עפ"י ההגדרה את ערך האינטגרל.

פתרון

דרך 1: חישוב ע"י משולש.

דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה $\Delta x=\frac1n$ .

במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות $0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac{n-1}n,1$ , ז"א $\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}$ .

רוחב המלבן
אורך המלבן

(נשים לב כי $f(x)=x$ פונקציה עולה ולכן, בגלל שלקחנו נקודת קצה ימנית, קיבלנו סכום עליון)

באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון (עם נקודות קצה שמאליות):

$\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=0}^{n-1} \frac i n$

אם נראה כי $\overline I=\underline I$ נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

נחשב:

$\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac12$

$\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=0}^{n-1} i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac12$

לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא $\tfrac12$ . $\blacksquare$

הערה: נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש- $\Delta x\to0$ מתקיים $\overline I=\underline I$ .

דוגמה 2

חשב את השטח שמתחת לעקומה $y=9-x^2$ בקטע $[0,3]$ . קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

פתרון

באופן כללי צריך לבחור חלוקה $T_n$ שעבורה $\lambda(T_n)\to0$ , למשל $x_i=\frac{3i}n$ כאשר $n\to\infty$ (ולכן $\Delta x_i=\frac3n\to0$ ). נבנה סכום דרבו מתאים:

ברור ש- $m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)=9-x_i^2$ ולכן:	$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac3n f\left(\frac{3i}n\right)$	$=$	$\underline S$
	$\lim_{n\to\infty}\frac3n\sum_{i=0}^n\left(9-\frac{3^2i^2}{n^2}\right)$	$=$
	$\lim_{n\to\infty}\frac3n\cdot9n-\frac3n\cdot\frac9{n^2}\sum_{i=0}^n i^2$	$=$
	$\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\sum_{i=0}^n i^2$	$=$
	$\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6$	$=$
	$27-\frac{27\cdot2}6$	$=$
	$18$	$=$

באותו אופן מגיעים ל- $\overline S=18$ ולכן $\int\limits_0^3 f=18$ . $\blacksquare$

דוגמה 3

הוכח או הפרך: אם |f| אינטגרבילית ב- $[a,b]$ אז f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ .

פתרון

הפרכה: נבחר את הפונקציה $f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1$ (כאשר $D(x)$ היא פונקצית דיריכלה). ברור כי $|f|$ אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. $\blacksquare$

הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה $\Delta x\to0$ .

הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.

דוגמה 4

הוכח או הפרך: אם f חסומה ב- $[a,b]$ ולכל $[c,b]\subset[a,b]$ f אינטגרבילית ב- $[c,b]$ אז f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ .

פתרון

הוכחה: יהי $\varepsilon>0$ נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה $T_\varepsilon$ של $[a,b]$ המקיימת ש- $\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)<\varepsilon$ .

נתון כי f אינטגרבילית ב- $[c,b]$ ולכן יש חלוקה $T_{\varepsilon'}$ של $[c,b]$ עבורה מתקיים $\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2$ . נגדיר $T_\varepsilon:=T_{\varepsilon'}\cup\{a\}$ .

נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:

$\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})$

$\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})$

לכן:

נסמן $M:=\sup_{x\in[a,c]} f(x)$ וכן $m:=\inf_{x\in[a,c]}f(x)$ , לפיכך:	$M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a)$	$=$	$\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)$
	$(M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})$	$=$
נבחר c כך ש- $(c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2}$ (קיים כי כאשר $a<c\to a$ מתקיים $M-m\to0$ ולכן $(c-a)(M-m)\to0$ )	$\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2$	$\le$
	$\varepsilon$	$=$

$\blacksquare$

דוגמה 5

חשב $\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\frac{n-1}n}+e\right)$ .

פתרון

נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה $e^x$ בקטע $[0,1]$ . $e^x$ פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}$ , וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים. לכן $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx$ .

לפי המשפט היסודי זה שווה ל- $[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1$ (הפונקציה הקדומה של $e^x$ היא $e^x$ ). $\blacksquare$

משפט: תנאי הכרחי כדי שפונקציה $f(x)$ תהיה אינטגרבילית ב- $[a,b]$ הוא ש-f חסומה בקטע.

משפט: אם f חסומה בקטע $[a,b]$ ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ .

דוגמה 6

קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:

$f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases}$ בקטע $\left[0,\tfrac\pi2\right]$ .
פתרון

לא אינטגרבילית: מתקיים $\lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\infty$ . לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. $\blacksquare$
$f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)&x\ne0\\0&x=0\end{cases}$ בקטע $[-1,1]$ .
פתרון

כן אינטגרבילית: נשים לב כי $-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1$ . בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב- $x=0$ ולכן f אינטגרבילית. $\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-== אינטגרבליות ==
+{{כותרת נושא|אינטגרביליות|נושא ראשון}}
 '''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>).
-(1)
+גרף (1)
 נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:
@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 # אינטגרבליות לפי רימן
-היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.
+היום נדבר על הראשונה.
-=== אינטגרבליות לפי דרבו ===
+=אינטגרבליות לפי דרבו=
-תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)</math>. נגדיר <math>\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן <math>\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.
+נסמן <math>M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math>. לכל חלוקה T נגדיר <math>\overline S(T):=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> ו-<math>\underline S(T):=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.
+כמו כן נגדיר
+{{left|
+<math>\overline I:=\inf\{\overline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
-<math>\overline I=\inf\{\overline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
+<math>\underline I:=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
+}}
+אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.
-<math>\underline I=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
+==דוגמה 1==
+הוכח עפ"י הגדרת האינטגרל שהפונקציה <math>f(x)=x</math> אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> ומצא עפ"י ההגדרה את ערך האינטגרל.
-<math>\overline I=\underline I</math>
+===פתרון===
+'''דרך 1:''' חישוב ע"י משולש.
-'''דוגמה 1:''' הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה <math>g(x)=x</math> מתחילה בקטע <math>[0,1]</math>. נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.
+'''דרך 2:''' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה <math>\Delta x=\frac1n</math>.
-'''פתרון:'''
+במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac{n-1}n,1</math>, ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.
+# רוחב המלבן
+# אורך המלבן
+(נשים לב כי <math>f(x)=x</math> פונקציה עולה ולכן, בגלל שלקחנו נקודת קצה ימנית, קיבלנו סכום עליון)
-''דרך 1:'' חישוב ע"י משולש.
+באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון (עם נקודות קצה שמאליות):
+{{left|
+<math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=0}^{n-1} \frac i n</math>
+}}
+אם נראה כי <math>\overline I=\underline I</math> נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).
-''דרך 2:'' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה <math>\Delta x\le\frac1n</math> (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).
+נחשב:
+{{left|
+<math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac12</math>
-במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1</math>. ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.
+<math>\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=0}^{n-1} i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac12</math>
-# רוחב המלבן
+}}
-# אורך המלבן
+לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>. {{משל}}
-(נשים לב כי <math>f(x)=x</math> פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)
+'''הערה:''' נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש-<math>\Delta x\to0</math> מתקיים <math>\overline I=\underline I</math>.
-באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:
+==דוגמה 2==
+חשב את השטח שמתחת לעקומה <math>y=9-x^2</math> בקטע <math>[0,3]</math>. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
-<math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n \frac i n</math>
+===פתרון===
+באופן כללי צריך לבחור חלוקה <math>T_n</math> שעבורה <math>\lambda(T_n)\to0</math>, למשל <math>x_i=\frac{3i}n</math> כאשר <math>n\to\infty</math> (ולכן <math>\Delta x_i=\frac3n\to0</math>). נבנה סכום דרבו מתאים:
+{|
+{{=|l=\underline S
+   |r=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac3n f\left(\frac{3i}n\right)
+   |c=ברור ש-<math>m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)=9-x_i^2</math> ולכן:
+}}
+{{=|r=\lim_{n\to\infty}\frac3n\sum_{i=0}^n\left(9-\frac{3^2i^2}{n^2}\right)
+}}
+{{=|r=\lim_{n\to\infty}\frac3n\cdot9n-\frac3n\cdot\frac9{n^2}\sum_{i=0}^n i^2
+}}
+{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\sum_{i=0}^n i^2
+}}
+{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6
+}}
+{{=|r=27-\frac{27\cdot2}6
+}}
+{{=|r=18
+}}
+|}
-...
+באותו אופן מגיעים ל-<math>\overline S=18</math> ולכן <math>\int\limits_0^3 f=18</math>. {{משל}}
-אם נראה כי <math>\overline I=\underline I</math> נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).
+==דוגמה 3==
+הוכח או הפרך: אם {{ltr|{{!}}f{{!}}}} אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
+===פתרון===
+'''הפרכה:''' נבחר את הפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1</math> (כאשר <math>D(x)</math> היא פונקצית דיריכלה). ברור כי <math>|f|</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. {{משל}}
+'''הערה:''' זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0</math>.
+'''הערה:''' נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.
+==דוגמה 4==
+הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>[c,b]\subset[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
+===פתרון===
+'''הוכחה:''' יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)<\varepsilon</math>.
+נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> של <math>[c,b]</math> עבורה מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2</math>. נגדיר <math>T_\varepsilon:=T_{\varepsilon'}\cup\{a\}</math>.
-עבור <math>\overline I</math> נרשום:
+נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:
-<math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=</math>...
+{{left|
+<math>\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})</math>
-באופן דומה <math>\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n}{2}=\frac12</math>
+<math>\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})</math>
+}}
+לכן:
+{|
+{{=|l=\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)
+   |r=M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a)
+   |c=נסמן <math>M:=\sup_{x\in[a,c]} f(x)</math> וכן <math>m:=\inf_{x\in[a,c]}f(x)</math>, לפיכך:
+}}
+{{=|r=(M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})
+}}
+{{=|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2
+   |o=\le
+   |c=נבחר c כך ש- <math>(c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2}</math> (קיים כי כאשר <math>a<c\to a</math> מתקיים <math>M-m\to0</math> ולכן <math>(c-a)(M-m)\to0</math>)
+}}
+{{=|r=\varepsilon
+}}
+|}
+{{משל}}
-'''מסכנה:''' f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>.
+==דוגמה 5==
-'''הערה:''' נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת
+חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\frac{n-1}n}+e\right)</math>.
-ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I</math>
+===פתרון===
+נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>, וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים. לכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>.
-'''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
+לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>). {{משל}}
-'''פתרון:''' ''תזכורת:'' חייבים <math>x_k^\star</math> בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).
+----
-נחלק את הקטע <math>[0,3]</math>, נבחר חלוקה המקיימת <math>\Delta x\to0</math>. (לדוגמה: בחרנו חלוקה <math>\Delta x=\frac3n</math>.
+'''משפט:''' תנאי הכרחי כדי שפונקציה <math>f(x)</math> תהיה אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> הוא ש-f חסומה בקטע.
-כאשר <math>k\in\{0,1,2,\dots\}</math> מתקיים <math>\Delta x_k=\frac{3k}{n}</math>). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).
+'''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
-<math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math>
+==דוגמה 6==
+קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:
+<ol>
+<li>
+<math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>.
+===פתרון===
+'''לא אינטגרבילית:''' מתקיים <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}
+</li>
+<li>
+<math>f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>.
+===פתרון===
+'''כן אינטגרבילית:''' נשים לב כי <math>-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}
+</li>
+</ol>

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11"

גרסה אחרונה מ־16:18, 2 במרץ 2011

תוכן עניינים

אינטגרבליות לפי דרבו

דוגמה 1

פתרון

דוגמה 2

פתרון

דוגמה 3

פתרון

דוגמה 4

פתרון

דוגמה 5

פתרון

דוגמה 6

פתרון

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים