משתמש:אור שחף/133 - תרגול/26.6.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

השתנות חסומה

הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב-[a,b] ותהי P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} חלוקה של [a,b] (a=x_0<x_1<\dots<x_n=b). נגדיר v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|. נתבונן בקבוצת כל המספרים v(f,P) עבור כל החלוקות האפשריות P של הקטע. אם קבוצה זו חסומה נאמר של-f יש השתנות חסומה בקטע, והיא \overset b\underset aV f=\sup_P\ v(f,P).

משפט: פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע סגור חסומה בקטע. ההיפך אינו נכון - תתכן פונקציה חסומה בעלת השתנות בלתי חסומה.

דוגמה 1

קבעו האם f(x)=\begin{cases}x\cos\left(\frac\pi x\right)&0<x\le1\\0&x=0\end{cases} בעלת השתנות חסומה.

פתרון

נשים לב כי f חסומה בקטע. נראה שבכל זאת היא בעל השתנות לא חסומה: נבחר את החלוקה P=\left\{0,\frac1n,\frac1{n-1},\dots,\frac12,1\right\}=\{x_k\}_{k=0}^n של הקטע [0,1] ולכן
\begin{align}v(f,P)&=\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&=\left|f(0)-f\left(\frac1n\right)\right|+\sum_{k=2}^n\left|f\left(\frac1{k-1}\right)-f\left(\frac1k\right)\right|\\&=\left|0-\frac1n\cos(\pi n)\right|+\sum_{k=2}^n\left|\frac1{k-1}\cos(\pi(k-1))-\frac1k\cos(\pi k)\right|\\&=\frac1n+\sum_{k=2}^n\left(\frac1{k-1}+\frac1k\right)\\&>\sum_{k=2}^n\frac1k\\&\to\infty\end{align}
\blacksquare



משפט: פונקציה מונוטונית בקטע סגור היא בעלת השתנות חסומה בו.

משפט: השתנות חסומה שומרת על חיבור וכפל בסקלר: \overset b\underset aV (f+g)\le\overset b\underset aV f+\overset b\underset aV g\ \and\ \overset b\underset aV c\cdot f=|c|\overset b\underset aV f.

דוגמה 2

תהינה f ו-g בעלות השתנות חסומה ב-[a,b].

  1. הוכיחו כי המכפלה f\cdot g בעלת השתנות חסומה.
  2. נתון שבנוסף קיים \varepsilon>0 כך ש-f(x)\ge\varepsilon לכל x\in[a,b]. הוכיחו \frac1f בעלת השתנות חסומה בקטע.

פתרון

  1. נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן h(t)=f(t)g(t) אזי
    \begin{align}v(h,P)&=\sum_{k=1}^n |h(x_k)-h(x_{k-1})|\\&=\sum_{k=1}^n|f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})|\\&=\sum_{k=1}^n|f(x_k)g(x_k)+f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})|\\&\le\sum_{k=1}^n |g(x_k)||f(x_k)-f(x_{k-1})|+\sum_{k=1}^n |f(x_{k-1})||g(x_k)-g(x_{k-1})|\end{align}
    f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמן |f|\le M_f\ \and\ |g|\le M_g ולכן v(h,P)\le M_g\cdot\overset b\underset aV f+M_f\cdot\overset b\underset aV g<\infty. \blacksquare
  2. מתקיים \forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon ולכן
    \begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right|\\&=\sum_{k=1}^n\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}
    \blacksquare

דוגמה 3

הוכח או הפרך: אם f בעלת השתנות חסומה בכל קטע סגור המוכל בקטע הפתוח (a,b) אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע הסגור [a,b].

פתרון

ניתן דוגמה נגדית: נגדיר f(x)=\begin{cases}\frac1{1-x}&x\ne1\\0&\text{else}\end{cases}. ניתן לראות כי f עולה ממש בקטע הפתוח (0,1) ולכן בכל תת קטע סגור המוכל בקטע (0,1). לפיכך f בעלת השתנות חסומה בכל תת קטע סגור של (0,1), אבל היא אינה חסומה כאשר x\to1^- ולכן אינה בעלת השתנות חסומה ב-[0,1]. \blacksquare