משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11

אינטגרציה (המשך)

עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.

עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.

דוגמא 1

חשבו

1. $\int\frac{dx}{x\left(\sqrt{x}+\sqrt[5]{x^2}\right)}$

   פתרון

   נרשום את האינטגרל כ- $\displaystyle\int\frac{dx}{x\left((x^{1/10})^5+(x^{1/10})^4\right)}$ . מתבקשת ההצבה $y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9 dy=dx$ ולכן נקבל $\int=\int\frac{10y^9 dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}$ ומכאן קל למצוא את הפתרון. $\blacksquare$
2. $\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}dx$

   פתרון

   נגדיר $y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5 dy=dx$ . נקבל $\int=\int\frac{(y^6-1)^2+y^3}{y^2}6y^5 dy=\int\left((y^6-1)^2+y^3\right)6y^3 dy=\dots$ . $\blacksquare$

הצבות טריגונומטריות

כאשר יש פונקציה מהצורה $\sqrt{a^2-b^2x^2}$ .

דוגמא 2

1. $\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}$

   פתרון

   נעזר במשלש ישר-זוית: גרף (1) $\sqrt{x^2+4}$ חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \fracx לא מוכרת): \tan(y)=\fracx2\iff x=2\tan(y)\implies dx=\frac{2dy}{\cos^2(y)}

   . נקבל
   $\begin{align}\int&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}\\&=\int\frac{\frac{2dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}\\&=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)} dy\end{align}$
   נציב $t=\sin(y)\implies dt=\cos(y)dt$ אזי $\int=\frac14\int\frac{dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots$ . $\blacksquare$
2. $\int\frac\sqrt{9-4x^2}x dx$

   פתרון

   שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה $\sin(y)=\frac{2x}3\implies dx=\frac32\cos(y)dy$ אזי
   $\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)dy\\&=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}dy\\&=3\int\csc(y)dy-3\int\sin(y)dy\\&=\dots\end{align}$
   נותר לפתור $\int\csc(y)dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}y=\int\frac{-dt}{1-t^2}$ עבור $t=\cos(y)$ . מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. $\blacksquare$
3. $\int\frac{dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32}$

   פתרון

   ראשית נציב $y=x-3\implies \int=\int\frac{dy}{\left(4y^3-9\right)^\frac32}$. נציב $\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ \tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}$ נקבל: $\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz$ את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה $t=\cos(z)$ ואז $\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots$. $\blacksquare$

הצבות מיוחדות

ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב $x=2\arctan(y)\iff y=\tan\left(\frac x2\right)$ ולכן $\sin(x)=\frac{2y}{1+y^2}$ וגם $\cos(x)=\frac{1-y^2}{1+y^2}$.

דוגמה 3

פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:

1. $\int\csc(x)\mathrm dx$

   פתרון

   $\int=\int\frac1\frac{2y}{1+y^2}\cdot2\cdot\frac1{1+y^2}\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln\left|\tan\left(\frac x2\right)\right|+c$$\blacksquare$
2. $\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}$

   פתרון

   נציב $y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm dx=2y\mathrm dy$ לפיכך $\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots$. $\blacksquare$

   מסקנה: כאשר יש ביטוי מהצורה $\sqrt[n]{ax+b}$ ננסה להציב $y^n=ax+b$.

---

אם יש ביטוי מהצורה $\sqrt{c+bx+x^2}$ כאשר הפולינום אי פריק נציב $(y-x)^2=c+bx+x^2$. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו $\alpha,\ \beta$ נציב $c+bx+x^2=(\beta-y)^2$ או $c+bx+x^2=(\alpha-y)^2$.

דוגמה 4

נחשב $\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}$

פתרון

הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו

$\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}$

ואז $\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}$. $\blacksquare$