משתמש:אור שחף/133 - תרגול/29.5.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

סכומי טורים

תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם f_n סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-[a,b], אז f אינטגרבילית ומתקיים \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b f. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: f_n סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-[a,b] המתכנסת בנקודה אחת לפחות x_0\in[a,b] ל-f(x_0). אם f_n' סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-[a,b] אז f גזירה \lim_{n\to\infty} f_n'(x)=f'(x)=\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)'.

באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה, לדוגמה: יהי \sum_{n=1}^\infty f_n(x) טור של פונקציות רציפות ב-[a,b] המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום S(x), אזי טור המספרים מתכנס ומתקיים \sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b \sum_{n=1}^\infty f_n=\int\limits_a^b S.

גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו f_n פונציות גזירות רציפות ב-[a,b] כך שהטור \sum_{n=1}^\infty f_n(x) מתכנס ב-x_0\in[a,b] ל-S(x_0). אם טור הנגזרות \sum_{n=1}^\infty f_n'(x) מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים \sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=S'(x)=\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'.

דוגמה 1

  1. הוכיחו שלכל t\in(0,1) מתקיים \ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{t^n}n.

    פתרון

    ידוע ש-\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x} וש-\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n (לפי נוסחת סכום סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע [0,a] ואז נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר. נשתמש במבחן ה-M של ויירשראס: |(-1)^nx^n|\le a^n לכל x\in[0,a]. אם 0<a<1 אזי \sum_{n=0}^\infty a^n מתכנס ולכן \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n מתכנס במ"ש.

    עתה יהי t\in(0,1) ונסתכל על הקטע מהצורה [0,t], שם הראנו שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ולכן
    \begin{align}\ln(1+t)&=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}\\&=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^t\\&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}\\&=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{t^n}n\end{align}
    \blacksquare
  2. חשבו \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn}.

    פתרון

    נעזר בסעיף 1. ברור כי t=\frac12 נמצא בקטע (0,1), ולכן נציב: \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{2^nn}=-\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{\left(\frac12\right)^n}n=-\ln\left(1\tfrac12\right). \blacksquare

דוגמה 2

חשבו את סכום הטור \sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n} עבור x>1.

פתרון

נשים לב כי \frac n{(n+1)x^n}=\frac1{x^n}-\frac1{(n+1)x^n}, ולפיכך מספיק לחשב את \sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}.

ראשית נוכיח שהטור \sum_{n=1}^\infty x^n מתכנס במ"ש ב-(0,1). יהי 0<x_0<1 ולכן \left|x^n\right|\le x_0^n לכל x\in[0,x_0]. כמו כן \sum_{n=1}^\infty x_0^n מתכנס כי 0<x_0<1 והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשראס, הטור \sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x} מתכנס במ"ש ב-[0,x_0]. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: \int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=\int\limits_0^x\sum_{n=1}^\infty t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_0^x t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}. כמו כן, ברור כי \int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=[-\ln|1-t|]_{t=0}^x=-\ln(1-x), ולכן \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}=-\frac1x\ln(1-x).

עתה, אם x>1 אזי \frac1x\in(0,1) ולבסוף
\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n}&=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}\\&=\frac1{1-\tfrac1x}-\left(-\frac1{1/x}\ln\left(1-\frac1x\right)\right)\\&=\frac x{x-1}+x\ln\left(\frac{x-1}x\right)\end{align}
\blacksquare

דוגמה 3

מהו סכום הטור \sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n} עבור x<1?

פתרון

נשים לב שאם נגדירf_n(x)=\frac1{x^n} אזי f_n'(x)=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+1}}. כמו כן \sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{x-1}. נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש-\sum f_n'(x) יתכנס במ"ש.

נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם x>1 אז יש 1<a<x ולכן \left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\frac n{a^{n+1}}. הטור \sum_{n=1}^\infty \frac n{a^{n+1}} טור מתכנס עפ"י מבחן המנה של ד'לאמר (או מבחן השורש של קושי).

נסיק שהטור \sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{x^{n+1}} מתכנס במ"ש ולכן \left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}} וגם \left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2}. לסיכום \sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2}, ולפיכך \sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n}=\frac x{(x-1)^2}. \blacksquare

טורי חזקות

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות \sum_{n=1}^\infty a_nx^n הוא R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}, והוא מתכנס בהחלט ב-(x_0-R,x_0+R). לגבי התכנסות בקצוות הקטע, יש לבדוק בנפרד.

דוגמה 4

מצאו את תחום התכנסות של הטור \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}\sqrt[3]n.

פתרון

אכן מדובר על טור חזקות כי כאשר המקדם הכללי הוא a_n=\frac1\sqrt[3]n. לכן רדיוס ההתכנסות הוא R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]\tfrac1\sqrt[3]n}=\left(1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n\right)^{-3}=1. ז"א כאשר |x|<1 הטור מתכנס. נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות x=\pm1. עבור x=1 הטור הוא \sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}\sqrt[3]n, שמתבדר כי הוא גדול מ-\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\infty. עבור x=-1 ברור שהטור מתכנס, לפי משפט לייבניץ. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא [-1,1). \blacksquare

דוגמה 5

מצאו את תחום ההתכנסות של \sum_{n=0}^\infty n!x^{n!}.

פתרון

נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר a_n=\begin{cases}n&\exists k:\ n=k!\\0&\text{else}\end{cases}. נקבל את הטור \sum_{n=0}^\infty a_n x^n. במקרה הזה נצטרך לחשב \limsup (ולא סתם \lim). 1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1/1=1 ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא \sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty. עבור x=-1 הטור הוא \sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!}, שגם שואף לאינסוף כי n! זוגי לכל n>1. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא (-1,1). \blacksquare