משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים

המטרה: לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).

דוגמה 1

חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:

  1. \int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx
    פתרון: נשים לב להגדרת |x-3| לפיה האינטגרל שווה ל-\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - \int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5 ועבור II - \int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2 ולכן השטח הכולל הוא 6.5. \blacksquare
    הערה: אם התחום היה, למשל, [4,5] היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
  2. \int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. \int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2 \blacksquare
  3. \int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2=0. זוהי אליפסה שמרכזה ב-(0,0). נסמן a=2,\ b=\sqrt2 ולפי נוסחה לשטח אליפסה (\pi a b) נקבל 2\sqrt2\pi. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר \sqrt2\pi. \blacksquare

האינטגרל הלא מסויים

המטרה: להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: F(x)=\int f(x)\mathrm dx ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, \frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x ולכן \int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c

דוגמה 1 (שיטת פירוק)

חשב \int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx.

פתרון

זה שווה ל-
\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}

\blacksquare

באופן כללי: נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-\mathbb R). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: \int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx.

דוגמה 2

חשב I=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}.

פתרון

דרך א: מתקיים I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את דרך ב:
\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}

\blacksquare

ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.


שיטת ההצבה: \int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c

דוגמה 3

חשב \int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx.

פתרון

נציב y=\sin(x) ולכן \mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx. אזי האינטגרל הוא: \int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c. \blacksquare



אינטגרציה בחלקים: \int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx.

דוגמה 4

חשב את האינטגרלים הבאים:

  1. \int xe^x\mathrm dx

    פתרון

    לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x. לכן האינטגרל שווה ל-xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c. \blacksquare

    מסקנה: לכל פולינום ממעלה n\in\mathbb N כפול פונקציה g שמקיימת (עבור m\in\mathbb N כלשהו) g^{(m)}(x)=g(x) נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון
  2. \int\ln(x)\mathrm dx

    פתרון

    נסמן f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x ואז x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c. \blacksquare
  3. \int\sin(x)e^x\mathrm dx

    פתרון

    f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x ואז \sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx. ולפי אינטגרציה שנייה: \sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx ולכן \int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c. \blacksquare

    מסקנה: במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.

דוגמה 5

\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx.

פתרון

בשיטת ההצבה, y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx והאינטגרל הנ"ל שווה ל-\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c. \blacksquare